《数学分析》课程教学课件（讲稿）换元积分法与分部积分法

S2换元积分法与分部积分法不定积分是求导运算的逆运算，相应于复合函数求导数的链式法则和来法求导公式，不定积分有换元积分法和分部积分法·一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法巡回后页前页

前页 后页 返回 §2 换元积分法与分部积分法 一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算, 相应 部积分法. 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 于复合函数求导数的链式法则和乘法 返回

一、第一换元积分法定理8.4(第一换元积分法）设g(u)在[a,b]上有定义,且og(u)du=G(u)+C.又u=j(x)在[a,b]上可导且ai(x)b,xi [a,b]则 og(i (x)i dx)dx= og(u)du=G(u)+C=G(i (x))+ C. (1)二GG (x)-G4i (x) x)-g( (x) Ax).证因为dx所以(1)式成立后页巡回前页

前页 后页 返回 定理8.4 (第一换元积分法) 则 证 一、第一换元积分法 所以(1)式成立

第一换元积分法亦称为凑微分法，即Og(i (x)i dx)dx = og(j (x)dj (x) = G(j (x)+C,其中Gdu)=g(u).常见的凑微分形式有(2) dx =d(x+a);(1) adx =d(ax);(3) x"dx =_-d(xa+b); (4) cos xdx = d(sin x);a+1(5) sin xdx =d(- cosx); (6) Idx=d(In x);dx(7) sec2 xdx = d(tan x); (8)d(arctanx).01+x?后页巡回前页

前页 后页 返回 第一换元积分法亦称为凑微分法, 即 常见的凑微分形式有

dx求0n例1(a > 0).2+x2解:01dx0OO.2oaerX1·Ba0du arctanu+ C0y2aC+C.arctanaa巡回后页前页

前页 后页 返回 例1 解

dx例2求0)(a 1一22.adx[a10解dx02agx-a x+ao211.d(x+a)d(x- a)0O2a2ax+ax-aIn/x- a|InIx+a-2a2a1x-a+ C.In2ax+a巡回后页前页

前页 后页 返回 例2 解

例3求orv1-x'dx.解 orv. r'dr--dt-rydacr)dt-r)a(t- r)r)ic(-r)+c.回后页前页

前页 后页 返回 例3 解

例4求isinxdx.解Osin'xdx-Osin'xsin xdx=- d(l- cos'x)dcosx1-cosx+C=- cosx+3dx例5求0xlnxdxd(Inx)= In Inx + C.解00Inxxlnx巡回后页前页

前页 后页 返回 解 例5 解 例4

例6求isecxdx.d(sinx)cos dx解（解法一osec.xdx二0O-sin'xxcos+ sinx+ C.sinx11-secx(secx +tanx(解法二)osecxdx=dxCsecx +tanxd(secx + tan x) In secx +tanx +C.Csecx + tan x巡回后页前页

前页 后页 返回 (解法二) 解 (解法一 ) 例6

二、第二换元积分法定理8.5（第二换元积分法）若g(u)在[a,b]上有定义,u=j (x)在[a,b]上可导i dx) 0, 且og(j (x)i dx)dx=F(x)+C,则(2)og(u)du= F(i '(u) +C.证在i dx)/0的条件下,必有j dx)>0，xi [a,b]或i dx)<0,xi [a,bl. 因此u=j (x)是严格单调函数,从而u=i(x)存在反函数x=i(u),且后页巡回前页

前页 后页 返回 定理8.5 (第二换元积分法) 上可导, 证 二、第二换元积分法

dx1duj dx)[x--'(u)1dF(j -'(u))= Fdx)×于是drj dx)1g(u),=g(i (x)i dx)jdx)所以(2)式成立第二类换元积分法常用在f(a2-x"),f(a2+x2)f(x2-α")等类型的不定积分上，对此可分别设x =asint,x =atant, x =asect.后页巡回前页

前页 后页 返回 等类型的不定积分上, 对此可分别设 于是 第二类换元积分法常用在 所以(2)式成立