《数学分析》课程教学课件（讲稿）上极限和下极限

*S3上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念，通过它们可得出数列极限存在的另一个充要条件：在下册第十二、十四章讨论级数收敛性时，常会遇到所考虑的某些数列不存在极限的情形，那时需要用上极限或下极限来解决问题.此外，对于不少后继课程来说，上（下）极限也是不可缺少的工具。一、上（下）极限的基本概念二、上（下）极限的基本性质邀回后页前页

前页 后页 返回 *§3 上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 一、上(下)极限的基本概念 程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具. 极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课 考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上 册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下 二、上(下)极限的基本性质 返回

一、上(下)极限的基本概念定义1若数列{x，满足：在x.的任何一个邻域内均含有(x,中的无限多项,i，则称x,是数列(xn)的一个聚点，注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于：前者要求“含有无限多个点”，后者要求“含有无限多个项”现举例如下：常数列(a,°a)只有一个聚点：a巡回后页前页

前页 后页 返回 一、上(下)极限的基本概念 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 定义1 若数列 满足: 在 数 的任何一个邻域 内均含有 中的无限多项, 则称 x0 是数列 常数列 只有一个聚点: a . 的一个聚点. 限多个项” . 现举例如下: 前者要求 “含有无限多个点” , 后者要求 “含有无

{（-1)"）作为点集来说它仅有两个点，故没有聚点但作为数列来说，它却有两个聚点：1和-1.数列 ( sin"}有五个聚点: -1, -V2/2, 0, V2/2, 1.从数列聚点的定义不难看出，x是数列x，的聚点的一个充要条件是：存在1x，的一个子列xnXn, ? xo, k ? ?.定理7.4有界数列至少存在一个聚点，并且有最大聚点和最小聚点后页邀回前页

前页 后页 返回 定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 但作为数列来说, 它却有两个聚点: 数列 有五个聚点: 从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 的聚 作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点 ; 点的一个充要条件是: 存在 的一个子列 聚点和最小聚点

证 设x,为有界数列，由致密性定理，存在一收敛子列个小，Xm?xo（h?￥），于是xo是x）的一个聚点又设E=x/x是(x,的聚点,由于E非空有界，故由确界原理，存在A=supE, A=inf E.下面证明A是x,的最大聚点，亦即AiE.首先，由上确界的性质，存a,I E,使a,? A在后页巡回前页

前页 后页 返回 又设 由于 E 非空有界, 故由确界原理, 存在 下面证明 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 证 设 为有界数列, 由致密性定理, 存在一 个 的一个聚点. 收敛子列 于是 首先, 由上确界的性质, 存 在 使

因为α,是x，的聚点，所以对任意正数e,在区间(a;-e，a;+e)内含有(xni的无限多项.现依次Aei =1, 存在 x,使[xm- a,n), 使 / xm, -az /nk-1),使 /xm-a,)K巡回前页后页

前页 后页 返回 存在 使 存在 使 的无限多项. 现依次 令 存在 使 因为 是 的聚点, 所以对任意正数 在区间

这样就得到了{x,}的一个子列{x}，满足：limXm=lim(Xm-a)+limar=A,k??k??k??即证得A也是x的一个聚点，所以Al E.同理可证AIE.定义有界数列(x,的最大聚点A与最小聚点2A 分别称为x,的上、下极限,记为A= lim Xn, A= lim Xn.n??n??后页巡回前页

前页 后页 返回 这样就得到了 { xn } 的一个子列 满足: 同理可证 定义 2 有界数列 的最大聚点 与最小聚点 分别称为 的上、下极限, 记为 即证得

注由定理7.4得知，有界数列必有上、下极限这样，上、下极限的优越性就显现出来了：一个数列若有界，它的极限可以不存在，此时想通过极限来研究该数列往往是徒劳的；但是有界数上、下极限总是存在的，这为研究数列的性质提供了一个新的平台后页返回前页

前页 后页 返回 注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台. 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数 列 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个

例1考察以下两个数列的上、下极限：= 0 (= lim -);limlimn?￥nn?Ynn??nnnlim (- 1)"lim (- 1)n=1,n+1n+1n??n??从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系详细讨论请见下文巡回后页前页

前页 后页 返回 例1 考察以下两个数列的上、下极限: 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文

二、上（下)极限的基本性质由上、下极限的定义，立即得出：定理7.5对任何有界数列x,，有limx,f limxn(1n??n??下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.定理7.6有界数列x，存在极限的充要条件是：lim Xn = lim Xn(2n??n?巡回后页前页

前页 后页 返回 二、上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 定理7.5 对任何有界数列 有 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关 系. 定理7.6 有界数列 存在极限的充要条件是: (1 ) (2 )

证 设 lim x, = A. 对于任意正数 e,在 U(A;e)n?之外x，只有有限项.这样，对任意的B1A.取e,=LB.A若>0, 那么在 U(B;e) 内(此时必2在U(A;e）之外）(x，只有有限项.这就是说，B不是x的聚点，故x仅有一个聚点A，从而lim x, = lim xnn? ?n?反之，若上式成立，则（x，的聚点惟一（设为A)后页巡回前页

前页 后页 返回 证 设 对于任意正数 在 之外 只有有限项. 这样, 对任意的 若 只有有限项. 这就是说, B 不是 的聚点, 故 仅有一个聚点 A, 从 而 取 那么在 内( 此时必 反之, 若上式成立, 则 的聚点惟一 (设为 A)