《数学分析》课程教学课件（讲稿）数列极限存在的条件

S3 数列极限存在的条件学过数列极限概念后，自然会产生两个问题：一是怎么知道一个数列是收敛的？即极限的存在性问题二是如何计算数列的极限？其中，判断数列是否收敛，这在极限理论中占有非常重要的地位下面就极限存在性问题，介绍两个重要定理一、单调有界定理二、柯西收敛准则返回前页后页

前页 后页 返回 学过数列极限概念后，自然会产生两个 §3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 下面就极限存在性问题, 介绍两个重要定理. 二、柯西收敛准则 理论中占有非常重要的地位. 极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限 即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的 问题：一是怎么知道一个数列是收敛的? 返回

一、单调有界定理定理2.7单调有界数列必有极限证该命题的几何意义是十分明显的不妨设{a,}单调增，有上界由确界定理，存在supia,=.由上确界的定义，对于任意的 ε>0存在an,使an.>-8. 故当 n>ng(=N)时,an(n>no)anoTxSS5-85+8后页返回前页

前页 后页 返回 一、单调有界定理 定理 2.7 单调有界数列必有极限. 证 该命题的几何意义是十分明显的. { } 不妨设 an 单调增，有上界. 由确界定理，存在 sup{ } . n a =  由上确界的定义，对于任意的   0, 存在 an0 , 使 0 . n a  −   0 故当 时 n n N  =( ) ,  −   +  ( ) x n0 a  ( ) n n0 an 

-an≤an≤5+,这就证明了 lima,=5.nα例1 设 a, = V2, .. a, - V2 + V2+.+ V2 ,n求 limann→00解 显然 a,>0. 因 a, =2+v2,故a,>a; 设a,>an-1, 则有an+1-a,=/2+a,-/2+an-1an-an-1>0,2+an + /2+an-1后页返回前页

前页 后页 返回 例1 设 1 2, , 2 2 2 , , n n a a = = + + + 求 lim . n n a →  1 1 2 2 n n n n a a a a + − − = + − + 1 , n n a a  − 则有 2 2 1 0 . 2 2 , ; n 解 显然 因 故 设 a a a a  = +  0 , n n      −     + a a 这就证明了 lim . n n a  →  = 1 1 0, 2 2 n n n n a a a a − − − =  + + +

所以a，递增.下面再来证明此数列有上界显然，aj=V20，所以lim a, = 2.n-00后页返回前页

前页 后页 返回 2 A A A A = + = = − 2 2, 1. ，并解出 { } 由此得到 an 有上界 2 , lim n . n a A →  故极限 存在 = lim 2 . n n a →  = 1 2 2 2 2. n n a a + = +  + = 1 显然 , 2 2 , a =  2 , n 设 则 a  由极限的不等式性, 知道 A  0 , 所以 所以{ }递增. an 下面再来证明此数列有上界. 于是由 1 lim lim 2 , n n n n a a + →  → = + 可得

例2下面的叙述错在哪儿？“设a,=2",n=1, 2, ..,则an+1 = 21+l = 2an.因为显然有 a,>0,所以(a,} 递增.设 lima,=A,n8从而得出A=2A=A=0.即 lim2n =0."n→80以前知道圆周率元是一个重要的无理数，现在来介绍另一个重要的无理数e.后页返回前页

前页 后页 返回 例2 下面的叙述错在哪儿？ 2 2 . 1 1 n n an = = a + + 因为显然有 0, { } . n n a a  所以 递增 lim , n n a A →  设 = 2 , 1, 2, , n n “设 a n = = 则 A A A =  = 2 0 , lim 2 0 . n n→  即 = ” 从而得出 介绍另一个重要的无理数e. 以前知道圆周率 π是一个重要的无理数,现在来

考察数列(e)=a+-（的收敛性，下面的证法-是最基本的，而教材上的证法技巧性较强利用二项式展开，得0...111 n(n-l) 1+n-n"2！n!nn1(1--)+(1--)(1-2)1!2!n3!n1-(1--)(1-2).(1- n-(1)十+n!n后页返回前页

前页 后页 返回   1 (1 )n n e n 考察数列 的收敛性,下面的证法   = +     利用二项式展开,得 1 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ), (1) ! n n n n n − + + − − − 是最基本的, 而教材上的证法技巧性较强. 2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 2! ! n n n n n n e n n n n n − − = + + + + 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! 3! n n n = + + − + − −

由此得21(1--)(1en+i =1 +S1!2!3!n+1n+1n+12001nn+ln+1+21n)(1(1X(n+1)!n+1n+ln+l把e，和e,的展开式作比较就可发现,e,的展开式有n+1项，其中的每一项都比e 的展开式中的前n+1项小,而e 的最后一项大于零.因此后页返回前页

前页 后页 返回 1 1 2 (1 )(1 ) (1 ). ( 1)! 1 1 1 n n n n n + − − − + + + + 由此得 1 1 的前 n e + 项小 n+ ,而 的最后一项大于零.因此 +1 , n n n 把 e e e 和 的展开式作比较就可发现 的展开 1 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! 1 3! 1 1 n e n n n + = + + − + − − + + + 1 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ) ! 1 1 1 n n n n n − + + − − − + + + + +1 1 式有 n e 项 n ,其中的每一项都比 的展开式中

en<en+1, n=1,2,....从而 {e,}是单调增数列,且(2)e.≤1+1!2!3!n!1由此 e,≤1+1+3.2221-12这就证明了le又是有界数列.于是lime,存在n→记此极限为e，即e = lim(1 +-)"n→00n后页返回前页

前页 后页 返回 1 , 1,2, . n n e e n  = + {e } 从而 n 是单调增数列,且 1 1 1 1 1 . (2) 1! 2! 3! ! n e n  + + + + + 2 1 1 1 1 1 1 3, 2 2 2 n n e − 由此  + + + + +  { } . lim . n n n e e →  这就证明了 又是有界数列 于是 存在 记此极限为e ,即 1 e lim(1 ) . n n→  n = +

11*例3 设s, =1+-n = 1,2,....+-1!2!3!证明：lim s, = e.n→0证显然s,是单调增数列,且由例2中的(2)式1e,≤1+1!2!3!n!3=s,00n-00后页返回前页

前页 后页 返回 *例3 1 1 1 1 1 , 1,2, , 1! 2! 3! ! n s n n 设 = + + + + + = 2 1 1 1 1 1 1 3, 2 2 2 n n s − =  + + + + +  证 { }n 显然 s 是单调增数列,且由例2中的(2)式, lim , n n s →  因此 存在且由极限的保不等式性 e lim lim . n n n n e s → → =  1 1 1 1 1 1! 2! 3! ! n e n  + + + + + lim e. n n s →  证明: =

又对任意 n>m,1+)(1-)+↓(1-)(-3)2131-(--(1-3)-(1-"-?nY(1-1)+(1-)(1-2)>1+1!2!n3!n1(1--)(1-3)1- m-1++m!因此,在上式中两边令n→8,得前页后页返回

前页 后页 返回 1 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ), ! m m n n n − + + − − − 因此, , 在上式中两边令 n →  得 又对任意 n m , 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! 3! n e n n n = + + − + − − 1 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ) ! n n n n n − + + − − − 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! 3! n n n  + + − + − −