《数学分析》课程教学课件（讲稿）无穷大量与无穷小量

S5无穷大量与无穷小量由于 lim f(x)=A等同于 lim[f(x)- A]=0, 因x?Xox?Xo此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是“数学分析”也称为“无穷小相同的·所以有人把分析”。一、无穷小量二、无穷小量阶的比较三、无穷大量四、渐近线岚回后页前页

前页 后页 返回 二、无穷小量阶的比较 §5 无穷大量与无穷小量 由于 等同于 因 分析”. 相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小 此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是 四、渐近线 三、无穷大量 一、无穷小量 返回

一、无穷小量定义1设f在点x,的某邻域 U（x）内有定义若 lim f(x)=0，则称f为x?x,时的无穷小量XRXo若f在点x，的某个空心邻域内有界，则称f为x?x,时的有界量类似地可以分别定义f为x? x,x? xi,x? ?,x? +?,x? -￥时的无穷小量和有界量。巡回后页前页

前页 后页 返回 一、无穷小量 定义1 则称 f 为

例如x-1为x? 1时的无穷小量；1-x2为x?1 时的无穷小量；sinx为x??时的无穷小量；xsinx为x??时的有界量显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷小量对于无穷小量与有界量，有如下关系：巡回前页后页

前页 后页 返回 显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 例如 : 对于无穷小量与有界量，有如下关系： 小量

1.两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是无穷小量2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量性质1可由极限的四则运算性质直接得到下面对性质2加以证明设 lim f(x)=0,1 g(x)/ M,xi U(x,).对于任意X?Xo的e>0,因为 lim f(x)=0,所以存在d>0,使得当xRXoe从而0</ x- x, /<d 时, Lf(x)/<M + 1后页巡回前页

前页 后页 返回 1. 两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是 2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量. 性质1可由极限的四则运算性质直接得到. 无穷小量. 下面对性质２加以证明

I f(x)g(x)<e.这就证明了f(x）g(x）是x?x,时的无穷小量例如x为? 0 时的无穷小量，sinl为x0 时的有界量，那么xsin！为x?0 时的无穷小量.应当注意，下面运算的写法是错误的：= lim x xlim sinlim xsin=0xR 0R 0rR 0xx2后页巡回前页

前页 后页 返回 例如 : 应当注意, 下面运算的写法是错误的：

从几何上看，曲线y=xsin在x=0近旁发生无限密集的振动，其振幅被两条直线=±x所限制y0.1y=.x1xsinJ=0.05xx0.1-0.1C-0.05V=-4-0.1巡回后页前页

前页 后页 返回 在 近旁发生无 限密集的振动，其振幅被两条直线 所限制. -0.1 -0.05 0.05 0.1 -0.1 -0.05 O 0.05 0.1

二、无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给出如下定义，设当x?x时，f(x)g(x)均是无穷小量(a)=0,则称 x x 时 ()是关于 g(t)1. 若 limg(x)x? xo 后页巡回前页

前页 后页 返回 二、无穷小量阶的比较 两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍 出如下定义. 两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给 这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察 是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的

的高阶无穷小量，记作f(x) = o(g(x) (x ? x,) .当f(x）为x?x,时的无穷小量时我们记f(x)=o(1) (x ? x) 例如: 1- cosx =o(x) (x ? 0);sinx = o(1) (x 0);xk+l = 0(xh) (x 0, k >0) 巡回后页前页

前页 后页 返回 例如：

2.若存在正数 K和L，使得在x.的某一空心邻域Ux) 内， 有f(x)LffM,g(x)则称f(x)与g(x)是x?x,时的同阶无穷小量根据函数极限的保号性，特别当f(x)lim=c10g(x)XRXo装时，这两个无穷小量一定是同阶的例如 当x0时,1-cosx与x是同阶无穷小量！.后页返回前页

前页 后页 返回 2. 若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻域 内，有 根据函数极限的保号性，特别当 时，这两个无穷小量一定是同阶的. 例如 :￾ 与 是同阶无穷小量 ; 则称 与 是 时的同阶无穷小量

10当x? 0 时,x与x2+sin是同阶无穷小量..XOref(x)f L.3.若两个无穷小量在Ux）内满足：g(x)则记 f(x)=0(g(x)) (x ? x)f(x)为x?x，时的有界量时，我们记f (x)=0(1) (x? x) .应当注意，若f(x)，g(x）为x x,时的同阶无穷小量，当然有后页巡回前页

前页 后页 返回 3. 若两个无穷小量在 内满足: 则记 当 时，x 与 是同阶无穷小量. 我们记 应当注意，若 为 时的同阶无 穷小量，当然有