《数学分析》课程教学课件（讲稿）函数概念

S3函数概念函数的概念，在中学数学中我们已有了初步的了解.本节将作进一步的讨论一、函数的定义二、函数的四则运算三、复合函数四、反函数五、初等函数岚回后页前页

前页 后页 返回 §3 函 数 概 念 一、函数的定义 二、函数的四则运算 三、复合函数 四、反函数 五、初等函数 函数的概念, 在中学数学中我们已有 了初步的了解. 本节将作进一步的讨论. 返回

一、函数的定义定义1D与M是R中非空数集,若有对应法则f,使D内每一个数x，都有惟一的一个数v口M与它应，则称f是定义在D上的函数，记作f :D M,xa y.D称为f的定义域；f(D)=(y y=f(x),xI D) 称为f 的值域;后页巡回前页

前页 后页 返回 一、函数的定义 称为 f 的值域; D 称为 f 的定义域; 定义1 D与M是R中非空数集,若有对应法则 f , 使 D内每一个数 x , 都有惟一的一个数 y￾ M 与它 对应相 ,则称 f 是定义在 D上的函数,记作

G=l(x,y) y=f(x),xi D)称为f 的图象注1函数由定义域D和对应法则f二要素完全决定，因此若给出函数的定义域和对应法则，也就确定了函数.它与自变量与应变量的符号无关注2表示函数有多种方法，常见的有解析法、列表法和图象法.解析法表示函数时，若没有特别指明其定义域，则一般约定其定义域为使该解析式有意义的自变量的全体（即存在域）后页返回前页

前页 后页 返回 称为 f 的图象. 注1 函数由定义域 D 和对应法则 f 二要素完全 决定，因此若给出函数的定义域和对应法则, 也 就确定了函数. 它与自变量与应变量的符号无关. 注2 表示函数有多种方法，常见的有解析法、列 表法和图象法.解析法表示函数时,若没有特别指 明其定义域,则一般约定其定义域为使该解析式 有意义的自变量的全体(即存在域)

例1符号函数V1,x>0100,x=0sgnx=i0x1-1,x<0例2狄利克雷函数1il,xi Q0D(x) = ix10,xi Q微回后页前页

前页 后页 返回 例2 狄利克雷函数 例1 符号函数

狄利克雷（Dirichlet.P.G.L1805-1859，德国）黎曼(Riemann,B.1826-1866.德国返回后页前页

前页 后页 返回 狄利克雷( Dirichlet,P.G.L. 1805－1859, 德国) 黎曼( Riemann,B. 1826－1866,德国 )

例3黎曼函数R(n)-—1.当x-号(.g1 N.既约真分数）；A0x=0,1或xi (0,1)1QJ0.60.40.2美840.20.40.60.81X0回后页前页

前页 后页 返回 例3 黎曼函数 O 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6

二、函数的四则运算设函数f的定义域为 D,,函数 g的定义域为 D.1. f ±g 的定义域为 D +g=D, I Dg,且" xi D, I D,,(f ±g)(x)=f(x)±g(x).2. f xg的定义域为 Drg =D,I D且 " xi D, I D,,(f xg)(x)= f(x)×g(x).一的定义域为 D,=D,I D',其中D"={xxi D36Hg( 0," i Dg-g(x)0后页巡回前页

前页 后页 返回 二、函数的四则运算

三、复合函数设函数f的定义域为D，，函数g的定义域为D复合函数fog的定义域为Dfog=(xxi D,,且g(x)i D,小, 则" xi Dfog, f og(x)= f(g(x)例4 函数 f(u)=Vu,ui [0,+￥)与函数 g(x)=1-x2,xi R的复合函数为y=f(g(x)=V1-x2其中 D f og = [- 1, 1].后页巡回前页

前页 后页 返回 三、复合函数 例4

例5 设 f(x) = x;g(x)=arcsin x; h(x)= In x.则(f og oh)(x) = arcsin'(lnx), D, =[e',el;(f oh og)(x) = In'(arcsin x), D, =(0,1);(g o f oh)(x) = arcsin(ln x), D, =[e ", el;(g oh o f)(x) = arcsin(ln x°), D, =[e 1/2, el/2];(ho f og)(x)= In(arcsin’ x),D, =[- 1, 0) E (0, 1l;(hog o f)(x)= In(arcsin(x")), D, =[- 1, 0)E (0, 1)其中D,,k=1,L,6是相应复合函数的定义域后页返回前页

前页 后页 返回 例5

四、反函数若函数f的定义域为D满足："yi f(D), s惟一xi D, 使f(x)=y,则存在函数f-l,D,=f(D) 且"yi f(D),f-(y)=x,其中x是使f(x)=y的惟一的xi D注反函数表示式f()=x中,v是自变量，x是因变量．由于函数与自变量、因变量记号无关，因此一般反函数f-l记为y=f-(x)后页邀回前页

前页 后页 返回 四、反函数 注 因变量. 由于函数与自变量、因变量记号无关