《数学分析》课程教学课件（讲稿）求导法则

S2求导法则导数很有用，但全凭定义来计算导数是不方便的·为此要建立一些有效的求导法则，使导数运算变得较为简便，一、导数的四则运算二、反函数的导数三、复合函数的导数四、基本求导法则与公式巡回后页前页

前页 后页 返回 一、导数的四则运算 §2 求导法则 导数很有用，但全凭定义来计算导 四、基本求导法则与公式 三、复合函数的导数 二、反函数的导数 求导法则, 使导数运算变得较为简便. 数是不方便的. 为此要建立一些有效的 返回

一、导数的四则运算定理 5.5 若函数 u(x),v(x)在点 x,可导，则函数f(x)=u()±v(x)在点x也可导，且(1)(u(x)±v(x))@x=x,= u(xo)± v(xo)定理5.6若函数 u(x),v(x)在点x,可量(,q勇数)(1)）在点,也可导，且(u(x)v(x))g x=xo = udx,)v(x,) + u(x,)vdx,)..(2)推论若u()在点x,可导，c是常数，则巡回前页后页

前页 后页 返回 一、导数的四则运算 在点 x0 也可导, 且 推论 若 u (x) 在点 x0 可导,c 是常数， 则 在点 x0 也可导, 且 定理 5.6 若函数 在点 x0 可 导, 则函数 定理 5.5 若函数 在点 x0 可 导, 则函数

(3)(cu(x))elx=x, = cudxo).定理5.6可推广到任意有限个函数相乘的情形如(uvw)e-udw+uvdw+uvwe下面证明乘积公式（2，请读者自行证明公式(证:(2)按定义可得u(xo + △x)v(xo + x) - u(xo)v(xo)fdxo)= limAxAxR 0eu(xo + x)v(x, + △x)- u(xo)v(xo + Ax)= lim0△.x后页巡回前页

前页 后页 返回 定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形, 如 下面证明乘积公式 (2), 请读者自行证明公式 (1) . 证 (2) 按定义可得

+ u(xo)v(xg + Dx)- u(xo)v(xo) oDx0u(xo + Dx)- u(xo)v(xo + Dx)一limDxDx? 0v(xo + Dx)- v(xo)+ lim u(xo)DxDx?0=udxo) v(xo) +u(xo) v(xo)注意：（uv)exu千万不要把导数乘积公式记错了巡回后页前页

前页 后页 返回 注意: ,千万不要把导数乘积公式 (2) × 记错了

例1 求 f(x)=apx"+a,x"-l+L +a,-x+a,的导数解 fdx)=(a,x")e +(a,x"-')e+L +(an-rx)e+(a,)= nagx"-I +(n- 1)a,x"-? +L +an-1.因此,对于多项式f而言，f总是比f低一个幂次例2 求y=sinxlnx 在x=π 处的导数.解由公式(2)，得yc= (sin x)dn x + sin x(ln x)e= cosxln x +-sin x,yAx-p4= - Inp .二后页巡回前页

前页 后页 返回 例1 解 因此, 对于多项式 f 而言, 总是比 f 低一个幂次. 例2 解 由公式 (2)，得

定理5.7若函数 u(x),v(x)在点x,可导，v(x)/ 0,u(x)在点x也可导，且则 f(x)一v(x)au(x)oudx,)v(x)- u(x,)vdx)(4)(x))S(x)0X=Xo巡回后页前页

前页 后页 返回 在点 x0 也可导，且 定理5.7 若函数 在点 x0 可导

证设 g(x)=则 f(x)=u(x)g(x). 对 g(x),有v(x)11g(xo +Ax)- g(xo) v(xo +Ax) v(xo)AxAx1v(xo + △x) - v(xo)YAxv(xo + △x) xy(xo)由于v(x)在点 x,可导，v(x) 0,因此巡回前页后页

前页 后页 返回 证 由于 在点 x0 可导, 因此

g(x, +Ax)- g(xo) vdx)gdxo) = lim(xo)AxDxR 00ae 1 vxo)(5亦即y2(xg)Sv(x) 01X=0对 f(x)=u(x)g(x)应用公式(2) 和 (5), 得f dxo)=udxo)g(xo) +u(xo)gdxo) ,u(x) o9udxo)v(xo)- u(xo)vdxo)即v(x)(xo)x=Xo后页巡回前页

前页 后页 返回 对 应用公式 (2) 和 (5), 得 (5 )

例3求下列函数的导数：(i）x"，n是正整数(ii) tanx, cotx:(ii) secx, cscx.nxn-1ocae 1n-1解(i) (x-")e=nx-&x".2n0xaesin x oc(sin x)ccos x - sin x(cos x)e(ii) (tanx)e-cosxocos"x1sincosx +$2secx二22cos"xcosx后页巡回前页

前页 后页 返回 例3 求下列函数的导数： 解

同理可得(cot x)c= -- csc2 x2sinxalo(cosx)essinx(ii)(secx)ecos"xcos"x&cosxo= secx tan x.同理可得(cscx)e= - cscx cot x.巡回后页前页

前页 后页 返回 同理可得 同理可得