《数学分析》课程教学课件（讲稿）第一型曲线积分

S1 第一型曲线积分本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.一、第一型曲线积分的定义二、第一型曲线积分的计算邀回后页前页

前页 后页 返回 §1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段 上的第一型曲线积分.此类积分的典型物 理背景是求非均匀分布的曲线状物体的 质量. 二、第一型曲线积分的计算 一、第一型曲线积分的定义 返回

一、第一型曲线积分的定义设某物体的密度函数f(P)是定义在W上的连续函数当W是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当W是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题(1) 分割: 把W分成 n 个可求长度的小曲线段 W(i =1, 2, L ,n).(2) 近似来和: 在每一个W, 上任取一点 P. 由于后页回前页

前页 后页 返回 一． 第一型曲线积分的定义 设某物体的密度函数 是定义在 上的连续函 数当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体 的质量. 现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线 段时物体的质量的计算问题. (2) 近似求和：在每一个 上任取一点 由于 (1) 分割：把 分成 个可求长度的小曲线段

f(P)为W上的连续函数,故当W,的孤长都很小时每一小段W,的质量可近似地等于f(P,)DW,,其中DW为小曲线段W,的长度于是在整个W上的质量就近似地等于和式na f(P,)DW,.i=1(3) 当对W的分割越来越细密(即 d =maxDW,? 0)lfifn时，上述和式的极限就应是该物体的质量由上面看到，求物质曲线段的质量，与求直线段的质巡回后贡前页

前页 后页 返回 上的连续函数, 故当 的弧长都很小时, 每一小段 的质量可近似地等于 其中 为小曲线段 的长度. 于是在整个 上的质量就近似地等于和式 (3) 当对 的分割越来越细密(即 ) 时, 上述和式的极限就应是该物体的质量. 由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质

量一样，也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义定义1 设L为平面上可求长度的曲线段,f(x,)为定义在L上的函数.对曲线L做分割T,它把L分成n个可求长度的小曲线段 L,(i=1, 2,L ,n), L,的孤长记为Ds;,分割 T的细度为 II T II= maxDs,,在 L,上任取lfifn一点(x; ,h,)(i=1,2,L ,n). 若有极限1lim a f(x,h,)Ds, = J,100-1后贡巡回前页

前页 后页 返回 量一样, 也是通过“分割、近似求和、取极限”来得 到的. 下面给出这类积分的定义. 个可求长度的小曲线段 的弧长 定义在 上的函数. 对曲线 做分割 ,它把 分成 记为 分割 的细度为 在 上任取 一点 若有极限 定义1 设 为平面上可求长度的曲线段, 为

且J 的值与分割 T与点(x;,h,)的取法无关,则称此极限为f(x,J)在L上的第一型曲线积分，记作Q f(x, y)ds.若L为空向可求长曲线段，(x,J,)为定义在 LL的函数,则可类似地定义f(X,J,7)在空向曲线L上的第一型曲线积分，并且记作Q f(x, J, z)ds.于是前面饼到的质量分布在曲线段L上的物体的质后贡邀回前页

前页 后页 返回 且 的值与分割 的取法无关, 则称此 极限为 上的第一型曲线积分, 记作 若 为空间可求长曲线段 , 为定义在 上 的函数, 则可类似地定义 在空间曲线 上 的第一型曲线积分, 并且记作 于是前面讲到的质量分布在曲线段 上的物体的质

量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得1. 若の f;(x, y)ds(i =1,2,L ,k)在c,(i=1, 2,L ,k)为k常数,则Qa c,f;(x, y)ds 也存在,且i=1kkQa cf(x, y)ds =a cQf(x, y)ds.i-1i-12. 若曲线段 L由曲线 Li, L,,L ,L, 首尾相接而成,Q, f(x, y)ds(i=1,2,L ,k)都存在, 则Qf(x, y)ds也存在，且邀回前页后页

前页 后页 返回 量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若 在 为 常数, 则 也存在, 且 2. 若曲线段 由曲线 首尾相接而成, 都存在, 则 也存在, 且

kQf(x, y)ds =a f(x, y)ds.i-13. 若Qf(x, y)ds与 Qg(x, J)ds都存在,且在 L上f(x, y) f g(x, y),则Q f(x, y)dst Qg(x, y)ds.4. 若Qf(x, y)ds 存在,则QIf(x,以ds 也存在,且I Q f(x, j)ds |f Ql f(x, y) I ds.巡回前页后贡

前页 后页 返回 3． 都存在, 且在 则 4． 也存在, 且

5. 若9f(x, y)ds 存在, L的孤长为s, 则存在常数c,使得Q f(x, y)ds = cs,这里inf f(x, y) f c f sup f(x, y).LL6.第一型曲线积分的几何意义若L为生标平面Oxy 上的分段光滑曲线,f(x,J)为L上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义，易见以L为准线,母线平行于不轴的柱面上截取巡回前页后贡

前页 后页 返回 5． 存在, 的弧长为 则存在常数 使得 6. 第一型曲线积分的几何意义 若 为坐标平面 上的分段光滑曲线, 为L 上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 为准线, 母线平行于 轴的柱面上截取

0 ± z± f(x,y)的部分的面积就是 0f(x, y)ds.7z = f(x,y)yLx图 20 - 1后页邀回前页

前页 后页 返回 的部分的面积就是

二、第一型曲线积分的计算i x=j (t), ti [a,b ],设有光滑曲线L：i定理20.1iy=y (t),f(x,y)为定义在L上的连续函数,则Q f(x,y)ds = f(i (t),y (t)Ni t(t) +y e(t)dt. (3)证 由弧长公式知道,L上由t=t,到t=t,的弧长Ds, =* vi e(0)+y e(0)dt.由i(t)+y(t) 的连续性与积分中值定理,有巡回后页前页

前页 后页 返回 二． 第一型曲线积分的计算 定理20.1 设有光滑曲线 为定义在 上的连续函数, 则 证 由弧长公式知道, 上由 的弧长 的连续性与积分中值定理, 有