《数学分析》课程教学课件（讲稿）数集 · 确界原理

S2数集·确界原理确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点。一、有界集二、 确界三、确界的存在性定理四、非正常确界岚回后页前页

前页 后页 返回 §2 数集 · 确界原理 一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点. 返回

记号与术语U(a;d)=(x/ /x-a|M}: ￥ 的 M邻域U(+?;M)=(x/ x>M}: +￥ 的 M邻域U(-￥;M)=(x/ x<M}: - ￥ 的 M邻域maxS：数集S的最大值minS：数集S的最小值后页返回前页

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一、有界集定义1 设si R,S1 E(I)若sMiR,使得"xiS,xM,则称M为S的一个上界，称S为有上界的数集(2）若SLiR,使得"xiS,x3L,则称L为S的一个下界，称S为有下界的数集（3）若S既有上界又有下界，则称S为有界集其充要条件为：sM>0,使"xiS,有Ix/M后页返回前页

前页 后页 返回 一、有界集 定义1

(19若S不是有上界的数集，则称S无上界，即"Mi R,s x,i S,使得x,>M（29若S不是有下界的数集，则称S无下界，即"Li R, $ x,i S,使得x,0, $ x,i S, 使得Ix, />M巡回前页后页

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例1证明数集S={2"niN无上界，有下界证取L=1,则"x=2"i S,x2L,故S有下界" Mi R,若MM;若M 3 1,取x,=2IM+I >[M]+1>M,因此 S无上界,1nniN有界例2证明数集S=i2n3bn2 -证"ni Nf2n32nZY因此S有界后页巡回前页

前页 后页 返回 因此 S 无上界. 证 取 L = 1, 故 S 有下界. 例1 例2 证

二、 确界若数集S有上界，则必有无穷多个上界，而其中最小的一个具有重要的作用．最小的上界称为上确界．同样，若S有下界，则最大的下界称为确界.定义2 设SiR,S!E若hIR满足：(i)"xI S,xth; (ii)"aa,则称h是S的上确界，记为h=supS邀回前页后页

前页 后页 返回 二、确界 定义2 若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为 下确界

注1 条件(i) 说明 h 是 s的一个上界，条件(ii)说明 小的数都不是s的上界，从而h是最小的上界，即上确界是最小的上界注2显然，条件（ii）亦可换成："e>0,sx,i S,x, >h- e.axh点击上图动画演示巡回后页前页

前页 后页 返回 点击上图动画演示 注2 注1 条件(i) 说明 是 的一个上界, 条件(ii) 说明比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上 界,即上确界是最小的上界

定义3设SiR,SE 若xiR满足：(i) "xi S, x3 x;(ii) "b >x, sx,I S, x, 0,$x, I S,x, <x+e.巡回前页后页

前页 后页 返回 定义3 注2 注1 由定义,下确界是最大的下界

例2 设 S-1 x x=1. 1,n=1,2,L , 求证nbsup S =1,inf S = 0.证先证supS-1.()"ri S,x-1- 't1;n(i)设aa.若α>0,则令e=1-a>0,由阿基米德性,$ ng1-e =a.使得nono因此, sup S =1.后页巡回前页

前页 后页 返回 证 先证 sup S=1. 例2

再证infS=0.(i)"xi s,x-1. I 0;n(i)"a >0,sx, =0i S,x,<a因此inf S=0虽然我们定义了上确界，但并没有证明上确界的存在性，这是由于上界集是无限集，而无限数集不一定有最小值，例如（0,口）无最小值以下确界原理也可作公理，不予证明巡回后页前页

前页 后页 返回 以下确界原理也可作公理,不予证明. 虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的 存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集 不一定有最小值, 例如 (0, ￾ ) 无最小值