《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分的近似计算

s6定积分的近似计算利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确计算定积分的值，但它仅适合被积函数的原函数能够求出的情形.我们这里介绍定积分的近似计算方法前页后页返回

前页 后页 返回 *§6 定积分的近似计算 利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确计 近似计算方法. 数能够求出的情形.我们这里介绍定积分的 算定积分的值,但它仅适合被积函数的原函 返回

根据定积分的定义1'f(x)dx=Ef(x,Ax,,i1或'f(x)dx=Ef(xi1)Ax, .i=1在几何意义上，这是用一系列小矩形来近似小曲边梯形面积的结果，所以把这个近似计算法称为矩形法.矩形法的精度较差，通常使用下面着重介绍的两种方法返回前页后页

前页 后页 返回 根据定积分的定义, 1 ( )d ( )Δ , n b i i a i f x x f x x =    或 1 1 ( )d ( )Δ . n b i i a i f x x f x x − =    在几何意义上,这是用一系列小矩形来近似小曲边 两种方法. 法.矩形法的精度较差，通常使用下面着重介绍的 梯形面积的结果,所以把这个近似计算法称为矩形

一、梯形法将积分区间[a,bl作n等分,分点为b-aa=x,<x, <...<x, =b,Ax,n相应的被积函数值记为Yo,yi,...,yn(y, = f(x,), i = 0,l,...,n),曲线 y=f(x)上相应的点记为P,P,..., P,(P(x,y,), i= 0,1,..,n)将曲线上每一段 P-,P,用P-,P替代，这使每个小前页后页返回

前页 后页 返回 一、梯形法 将积分区间 [ , ] a b n 作 等分,分点为 0 1 ,Δ . n i b a a x x x b x n − =    = = 相应的被积函数值记为 0 1 , , , ( ( ), 0,1, , ), n i i y y y y f x i n = = 曲线 y f x = ( ) 上相应的点记为 0 1 , , , ( ( , ), 0,1, , ). P P P P x y i n n i i i = 将曲线上每一段 P P P P i i i i − − 1 1 用 替代, 这使每个小

曲边梯形换成了梯形，其面积为Yi.I + yi Ar,i = 1,2,.,n.2于是，整个曲边梯形面积的近似值为"yi + yi-lAx,,I' f(x)dx ~21-1即b-aoV' f(x)dx ~n+ yi + ... + yn-I +22n以上近似式称为定积分的梯形法公式后页返回前页

前页 后页 返回 1 Δ , 1,2, , . 2 i i i y y x i n − + = 于是,整个曲边梯形面积的近似值为 1 1 ( )d Δ , 2 n b i i i a i y y f x x x − = +    即 曲边梯形换成了梯形,其面积为 0 1 1 ( )d ( ) , 2 2 b n n a b a y y f x x y y n − −  + + + +  以上近似式称为定积分的梯形法公式

二、抛物线法由梯形法求定积分的近似值,当y=f(x)为凸曲线时偏大，为凹曲线时偏小.用抛物线法可克服上述缺点.将积分区间[a,bl作2n等分，分点为：b-aa =x <x, <...<x2n=b, Ar,一2n相应的被积函数值记为后页返回前页

前页 后页 返回 二、抛物线法 由梯形法求定积分的近似值, 当 y f x = ( ) 为凸曲 线时偏大, 为凹曲线时偏小. 用抛物线法可克服上 述缺点. 将积分区间 [ , ] 2 a b n 作 等分, 分点为: 0 1 2 , Δ . 2 n i b a a x x x b x n − =    = = 相应的被积函数值记为

Yo,yi,..., y2n(y, = f(x),i = 0,1,...,2n),曲线 y=f(x)上相应的点记为P,P,...,Pn(P(x,y.),i = 0,1,...,2n)现把区间[x,x,l上的曲线y=f(x)用通过三点P(xo,yo), P(xp,yi), P,(x2,y2)的抛物线p(x)=αx2+β,x+来近似替代，便有后页返回前页

前页 后页 返回 0 1 2 , , , ( ( ), 0,1, ,2 ), n i i y y y y f x i n = = 曲线 y f x = ( ) 上相应的点记为 0 1 2 , , , ( ( , ), 0,1, ,2 ). P P P P x y i n n i i i = 0 2 现把区间 [ , ] x x 上的曲线 y f x = ( ) 用通过三点 0 0 0 1 1 1 2 2 2 P x y P x y P x y ( , ), ( , ), ( , ) 的抛物线 2 1 1 1 1 p x x x ( ) = + +    来近似替代, 便有

[" f(x)dx = [" p:(x)dx = [" (ajx + β,x + y1)dx(t,-x)+B(,-x)+(x,-x)32=(a,x, + βx +y)+(ajt + βx, +1)+6α,(x, +x,) + 2β,(x, +x,) +4lb-"(yo +4y + y.).x,-xo(yo + y, +4y)二66n同样地在[x2i-2, X2;|上用p,(x)=α,x +β,x +, 替代曲线 y=f(x), 将得到前页后页返回

前页 后页 返回 2 2 2 0 0 0 2 1 1 1 1 ( )d ( )d ( )d x x x x x x f x x p x x x x x  = + +       2 2, 2 [ ] i i x x 同样地在 − 上用 2 ( ) ( ), i i i i p x x x y f x = + + =    替代曲线 将得到 2 0 0 2 1 0 1 2 ( 4 ) ( 4 ). 6 6 x x b a y y y y y y n − − = + + = + + 2 1 0 2 1 0 2 1    ( ) 2 ( ) 4 ] x x x x + + + + 2 0 2 2 1 0 1 0 1 1 2 1 2 1 [( ) ( ) 6 x x       x x x x − = + + + + + + 1 1 3 3 2 3 2 0 2 0 1 2 0 ( ) ( ) ( ) 3 2 x x x x x x   = − + − + − 

X2i2f(x)dx ~p,(x)dxJx2i-2X2i-2b-(y2i-2 + 4 y2i-1 + Y2i )6n最后得到' f(x)dx-Zf" (x)dxX2i-2i-1b-aZ(yai- + 4y2i1 + y2n).~6ni1b-aI' f(x)dx即Yo + y2n +4(yi + y'3 +...+ y.6n+(y, + y, +...+ J2n-2) 后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( )d ( )d ( 4 ). 6 i i i i x x i x x i i i f x x p x x b a y y y n − − − −  − = + +   最后得到 2 2 2 1 ( )d ( )d i i n b x a x i f x x f x x − =   =  2 2 2 1 2 1 ( 4 ). 6 n i i i i b a y y y n − − = −  + +  即 2 1 0 2 1 3 ( )d 4( ) 6 n b n a b a f x x y y y y y n − −  + + + + +    2 4 2 2 ( ) . n y y y − + + + +  

这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式dxrrl例计算的近似值Jo 1+ x?解将区间[0,1]十等分，各分点上被积函数的值列表如下：Xi00.10.20.30.40.51yi0.99009900.96153850.91743120.86206900.8000000Xi0.710.60.90.8yi0.50.55248620.73529410.67114090.6097561后页返回前页

前页 后页 返回 这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式. 例 计算 的近似值. 1 2 0 d 1 x + x  解 将区间 [0, 1] 十等分，各分点上被积函数的值列 表如下： xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 yi 1 0.9900990 0.9615385 0.9174312 0.8620690 0.8000000 xi 0.6 0.7 0.8 0.9 1 yi 0.7352941 0.6711409 0.6097561 0.5524862 0.5

(1)用矩形法公式dx(y, + y, +... + y,) = 0.80992+r10(或(y, + y, + ..: + yro) = 0.7600)一10(2) 用梯形法OxaYi +...+ y,= 0.785022(3)用抛物线法后页返回前页

前页 后页 返回 (1) 用矩形法公式 1 2 0 1 9 0 d 1 ( ) 0.8099 1 10 x y y y x  + + + = +  1 2 10 1 ( ) 0.7600). 10 (或 y y y + + + = (2) 用梯形法 1 0 10 2 1 9 0 d 1 ( ) 0.7850. 1 10 2 2 x y y y y x  + + + + = +  (3) 用抛物线法