《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章_2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率隐茜数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数四、相关变化率·五、小结思考题

第四节 隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数 相关变化率 • 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题

隐函数的导数一、定义:由方程F(x,J)=0所确定的函数称为隐函数y=f(x)形式称为显函数例如,x--1=0可确定显函数 =x-1y+2-x-3x=0可确定y是x的函数F(x,y)=0 → y=f(x)隐函数的显化1问题：隐函数不易显化或不能显化如何求导？

一、隐函数的导数 定义: 由方程F x y ( , ) 0 . = 所确定的函数称为隐函数 y f x = ( ) . 形式称为显函数 F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 3 例如, y x = − 1 3 x y − − =1 0 可确定显函数 5 7 y y x x + − − = 2 3 0 可确定 y 是 x 的函数

例1 求由方程 xy-e＊+e=0所确定的隐函数dy dyy的导数x=0dx dx解方程两边对x求导dy业etej=0十y+xdxe由原方程知x=0,y=0，解得x+eydyet=x=0 =1.x=0dxx+eyV=0

例1 , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 x x x y y dy e y dx x e = = = −  = + = 1

求隐函数的导数时，只要记住x是自变量v是x的函数，于是v的函数便是x的复合函数将方程两边同时对求导,就得到一个含有导数y的方程.从中解出即可。虽然隐函数没解出来，但它的导数求出来了，当然结果中仍含有变量！一般来说，隐函数求导，允许在y的表达式中含有变量y

虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 允许在 y 的表达式中含有变量y.  y 一般来说,隐函数 求导, 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 从中解出即可. 于是y的函数便是x的复合函数, 的方程. y是x的函数

例2.求由方程+2y-x-3x=0确定的隐函数dyy= y(x)在x=0 处的导数cx=0dx解：方程两边对x求导d(j5 +2y- x -3x)= 0dxdydy4得+25y-21x° = 0dxdx_ 1+21x6dydx5*+2因x=0时y=0，故/x=0=2

例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 4 d 5 d y y x d 2 d y x + −1 6 −21x = 0 6 4 d 1 21 d 5 2 y x x y +  = + 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数

兰=1在点(2,号V3）处的切线方程例3.求椭圆916解：椭圆方程两边对x求导2x3+i.y'=0V39xx=2416 yx=2=3V3y=V3故切线方程为(x-2)V3x+4y-8/3=0即

例3. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 2 0 8 9 x +  = y y  y 3 2 2 3 x y = = 9 16 x y = − 3 2 2 3 x y = = 3 4 = − 故切线方程为 3 3 3 ( 2) 2 4 y x − = − − 即

练习设曲线C的方程为x2+y2=3xy,求过C上33点()的切线方程，并证明曲线C在该点的法.线通过原点。解方程两边对求导，3x2+3y2y'=3y+3xyy-x?=-1.罗-y-x33所求切线方程为y即x+y-3=0.X12233-即y=x,显然通过原点.法线方程为yx22

练习 3 3 3 , 3 3 ( , ) , 2 2 . C x y xy C C 设曲线 的方程为 + = 求过 上 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 线通过原点 解 方程两边对x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − −   = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点

例3 设 x4-xy+y4=1,求y"在点(0,1)处的值解方程两边对x求导得(1)4x3- y-xy'+4yy= 0代入x=0,J=1得yx=0y=l将方程(1)两边再对x求导得12x2-2y'-xy" +12y"(y')" + 4yy" = 01得』"代入x=0, y=1, yx=0x=016y=1J=1

例 3 1, (0,1) . 设 x4 − xy + y4 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x y − xy + y y = 代入 x = 0, y = 1得 ; 41 1  0 = y=x y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x y − xy  + y y + y y  = 得41 1  0 = y=x 代入 x = 0, y = 1, y . 161 1  0 = − y=x y

一般地，求方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的二阶导数y"时，方程两端对x求导后得方程G(x, y,y') = 0.继续对该方程两端求x的导数后，又得一方程H(x, y, y', y") = 0.解此方程并将v的表达式带入即可求出y"= y"(x,y).4sinyd'y例x-y+siny =(cosy-2)3=0dx2

2 2 1 d + sin = 0, = . 2 d y x y y x 例 − 3 4sin (cos 2) y y − ( , ) = 0 = ( ) ( , , ) = 0 ( , , , ) = 0 ( , ) F x y y y x y x G x y y x H x y y y y y = x y y        一般地，求方程 所确定的隐函 数 的二阶导数 时，方程两端对 求导 后得方程 . 继续对该方程两端求 的导数后，又得一方程 . 解此方程并将 的表达式带入即可求出

东2002年考研数学3分已知函数y=(x)由方程e+60y+02-1=0x= 0, y=0确定,则y"(0)9 -2解e'.y'+6y+6xy'+2x = 020 +60==-y'=06.0 +e0(2 + 60)(60+e°)-(20 + 60)(6+e0 . 0V"(6.0 +e0

? 2002年考研数学一, 3分 ( ) 6 1 0 2 y = y x e + xy + x − = 已知函数 由方程 y 则y (0) = 解 y e 确定,  y  + 6 y + 6xy + 2x = 0 y x e x y y + +  = − 6 2 6 y  =  − (6 ) y (2 + 6 y ) x + e (6 e y ) y −(2x + 6 y) +   2 (6 ) y x + e 0 0 x = 0, 0 0 0 0 y  = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y = 0 0 − 2