《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章_5.1定积分的概念和性质

第五章定积分定积分和不定积分是积分学的两个主要组成部分.不定积分侧重于基本积分法的训练，而定积分则完整地体现了积分思想一种认识问题、分析问题、解决问题的思想方法

第五章 定积分 定积分和不定积分是积分学的两个主要 组成部分.不定积分侧重于基本积分法的 训练,而定积分则完整地体现了积分思想 —一种认识问题、分析问题、解决问题的 思想方法

第一节定积分的概念和性质、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质四、小结

第一节 定积分的概念和性质 • 一、定积分问题举例 • 二、定积分的定义 • 三、定积分的性质 • 四、小结

设y=f(x)在区间[a，b]上非负、连续，由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f(x）所围成的图形称为曲边梯形yFf (x)=x+2sinX福abX

设 y = f (x) 在区间 [a , b] 上非负、连续，由直线 x = a , x = b , y = 0 及曲线 y = f (x) 所围成的图形称为曲 边梯形. x y a b y = f (x) = x+2sin x O

对任意不规则的平面图形，在求其面积时，总可将其分割成若干个曲边梯形，其面积等于这些曲边梯形面积的代数和．如xo因此，只要会求曲边梯形的面积，即能求任意平面图形的面积

O x y O x y O x y 对任意不规则的平面图形，在求其面积时，总可将 其分割成若干个曲边梯形，其面积等于这些曲边梯形面 积的代数和. 如 = – 因此，只要会求曲边梯形的面积，即能求任意平面 图形的面积

定积分问题举例一实例1（求曲边梯形的面积）Vy=f(x)曲边梯形由连续曲线y= f(x)(f(x)≥0)A=?x轴与两条直线x=a、olabx=b所围成

a b x y o A = ? 实例1 （求曲边梯形的面积） y = f (x) 一、定积分问题举例 ( )( ( ) 0) . y f x f x x x a x b =  = = 曲边梯形由连续曲线 、 轴与两条直线 、 所围成

以直代曲用矩形面积近似取代曲边梯形面积ba0h0X（四个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积

a b x y a b x o y o 以直代曲 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）

(1.分割)曲边梯形如图所示，在区间[a,b内任意插入若干个分点a=x<x<x,<…<xn-<x,=b把区间[a,b]分成nJ个小区间[xi-1,x;],长度为Axr;Ax, = X, -Xi-1 olaxXi- X-bi=1,2,..,n;这样，把曲边梯形分割为n个窄曲边梯形；

1 [ , ] [ , ] i i a b n x x − 把区间 分成 个小区间 ， a b x yo i x 1 x i 1 x − n 1 x − 这样，把曲边梯形分割为n个窄曲边梯形； 1 1,2, , ; i i i i x x x x i n −   = − = 长度为 ， 0 1 2 1 (1. ) [ , ] n n a b a x x x x x b =      = − 曲边梯形如图所示，在区间 内任意 插入若干个分点 分割

(2.近似)在每个小区间[x;-1,x,|上任取一点,以[x;-1,x,为底，f()为高的小矩形的面积近似窄曲边梯形的面积，则yAA, ~ f()Ax, i=1,2,.,n(3.作和)曲边梯形面积的近似值为A=Z, ~Zf(s,)Ax;oabx5xi x-1X(4.取极限)当分割无限加细时，设所有小区间长度的最大值a=max[Ax,Ax,,..Ax,，当a→时,曲边梯形面积为 A=limf(5,)Ax;1-0i=l

1 1 ( ) n n i i i i i A A f ξ x = = =      (3.作和)曲边梯形面积的近似值为 1 2 , max (4. , } 0 ) { , n λ =    → x x x λ 当分割无限加细时 设所有小区间长度的 最大值 ，当 取极限 时， i n i i A =  f x = → lim ( ) 1 0   曲边梯形面积为 1 ( ) 2. [ , ] i i i x x ξ 近似 在每个小区间 − 上任取一点 ， ( ) 1,2, , A f i i i    = ξ x i n 1 [ , ] ( ) i i i x x f ξ 以 − 为底， 为高的小矩形的 面积近似窄曲边梯形的面积，则 a b x y o i x 1 x i 1 x − n 1 x −  i

实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[T,T1上t的一个连续函数，且v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的路程思路：以不变代变把整段时间分割成若干小段每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值

实例2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是 时间间隔[ , ] T1 T2 上 t 的一个连续函数，且 v(t)  0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：以不变代变 把整段时间分割成若干小段， 每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再 相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间 的无限细分过程求得路程的精确值．