《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章_1.2数列的极限

第二节数列的极限、概念的引入数列的定义三、 数列的极限四、数列极限的性质五、小结

第二节 数列的极限 • 一、概念的引入 • 二、数列的定义 • 三、数列的极限 • 四、数列极限的性质 • 五、小结

概念的引入一、禾1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失-刘徽！正六边形的面积 A正十二边形的面积 AR正 6×2"-1 形的面积A,A,A,,A,,An, S

R 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 正 形的面积 1 6 2n  A n 1 2 3 , , , , , A A A A n S “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入

刘徽生于公元250年左右三国后期魏国人中国古代杰出的数学家，被称为“中国数学史上的牛顿

刘 徽 生于公元250年左右 三国后期魏国人 中国古代杰出的 数学家，被称为“中 国数学史上的牛顿

2、截丈问题：“一尺之捶，日截其半，万世不竭第一天截下的杖长为X,第二天截下的杖长总和为X,2++第n天截下的杖长总和为X，=亏nHX, =1-.2n

2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 1 ; 2 第一天截下的杖长为 X  2 2 1 1 ; 2 2 第二天截下的杖长总和为 X  2 1 1 1 ; 2 2 2 n n 第n X 天截下的杖长总和为     1 1 2 X n n   1

庄子庄子约前369年一前286年著名思想家，哲学家、文学家

庄 子 约前369年—前286 年 著名思想家、 哲学家、文学家

庄子，名周，字子休，汉族。战国时代宋国蒙（今安徽省蒙城县，另一说河南省商丘市东北）人。著名思想家、哲学家、文学家，是道家学派的代表人物，老子哲学思想的继承者和发展者，先秦庄子学派的创始人。后世将他与老子并称为“老庄”，他们的哲学为“老庄哲学”。庄子一生著书十余万言，书名《庄子》。庄子不但是我国哲学史上一位著名的思想家，同时也是我国文学史上一位杰出的文学家。无论在哲学思想方面，还是文学语言方面，他都给予了我国历代的思想家和文学家以深刻的，巨大的影响，在我国思想史、文学史上都有极重要的地位

庄子，名周，字子休，汉族。 战国时代宋国蒙（今安徽省蒙城 县，另一说河南省商丘市东北） 人。著名思想家、哲学家、文学 家，是道家学派的代表人物，老 子哲学思想的继承者和发展者， 先秦庄子学派的创始人。后世将 他与老子并称为“老庄”，他们的哲学为“老庄 哲学”。 庄子一生著书十余万言，书名《庄子》。 庄子不但是我国哲学史上一位著名的思想家，同 时也是我国文学史上一位杰出的文学家。无论在 哲学思想方面，还是文学语言方面，他都给予了 我国历代的思想家和文学家以深刻的，巨大的影 响，在我国思想史、文学史上都有极重要的地位

二、数列极限的定义1.数列定义按自然数顺序依次排列的一串数V(1)Xi,X2,..",Xn.称为(无穷)数列，记作{(x,}.将其中的每个数称为数列的项，称Xn为数列(1)的通项或一般项例如[2"}2,4,8,..,2"....;2'48，on

二、数列极限的定义 例如 2, 4, 8, , 2 , ; n 1 1 1 1 , , , , , ; 2 4 8 2n {2 }n 1 { } 2 n 1.数列  定义 按自然数顺序依次排列的一串数 称为(无穷)数列，记作 .将其中的每个数称 为数列的项，称 为数列(1)的通项或一般项. 1 2 , , , , (1) n x x x{ }n x n x

1, -1,1,...,(-1)n+1,...n +(-1)"-1n3, /3+ 3..., 3+ /3+ ..+ V3,..> 注 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取Xi,X2..,Xn,*XXXX4Xn2.数列是整标函数x，=f(n)

 注 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 1 2 , , , , . n x x x 3 x 2.数列是整标函数 1 1, 1,1, ,( 1) , ; n   1 1 4 ( 1) 2, , , , , ; 2 3 n n n    3, 3 3 , , 3 3 3 ,    

增减性变化趋势>例：(1)[1+]：2,12,1依次递减1变化趋势为常数(2) [1-：0, 依次增大1(3) [1+ :0, 12来回摆动,32(4)((-1)"n) : -1, 2, -3, ...无限大来回摆动(5)[1+1, 0,1,来回摆动无2>数列极限的描述性定义如果当n无限增大时，，x，无限接近于常数a，则称常数a为数列(x,}的极限

例：（1） 1 1 : n        1 1 2, 1 , 1 , 2 3 （2） 1 1 : n        1 3 0, , , 2 4 （3） ( 1) 1 : n n         1 2 0, 1 , , 2 3 （4） ( 1) :  n  n   1, 2, 3, （5） 1 ( 1) : 2 n         1, 0, 1, 0, 增减性 依次递减 依次增大 来回摆动 来回摆动 来回摆动 变化趋势 1 1 1 无限大 无 变 化 趋 势 为 常 数 数列极限的描述性定义 如果当n无限增大时， xn 无限接近于常数a， 则称常数a为数列xn的极限．

问题：当n无限增大时，x,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定？当 n 无限增大时,x, =1+ (-1)"I无限接近于1n>问题：M“无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划它.1x, -1| =[(-1)"-1nn

 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 1 ( 1) , 1 1. n n xn n   当 无限增大时   无限接近于  问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. 1 n x  1 1 1 ( 1)n n n    