《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）5.1 定积分的概念与性质

第一节定积分的概念与性质一、问题的提出二、定积分的概念三、定积分的近似计算四、定积分的性质

第一节 定积分的概念与性质 一、问题的提出 三、定积分的近似计算 二、定积分的概念 四、定积分的性质

第五章定积分问题的提出中学已经学过直边图形的面积.例如：矩形、梯形等a+bCEhhS=h口问题：如何求曲边图形的面积？2口h实例1曲边梯形的面积设y=f(x)在区间[ab]上非负、连续由直线x=ax=by=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.求其面积S.第一节定积分的概念与性质

第一节 定积分的概念与性质 第五章 定积分 一、问题的提出 实例1 曲边梯形的面积 问题：如何求曲边图形的面积？ 中学已经学过直边图形的面积. 例如：矩形、梯形等. ᵰ ᵰ= ᵰℎ ℎ ᵰ ℎ ᵰ 曲边梯形.求其面积 S￾. 设y = f(x)在区间[a,b]上非负、连续. 由直线x = a,x = b,y = 0 及曲线y = f(x)所围成 的图形称为

第五章定积分观察发现：小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积，ot01（五个小矩形）（十个小矩形）解决思路：用矩形面积近似取代曲边梯形面积思想：以直代曲第一节定积分的概念与性质

第一节 定积分的概念与性质 第五章 定积分 观察发现：小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． 解决思路：用矩形面积近似取代曲边梯形面积 思想：以直代曲 （五个小矩形） （十个小矩形）

第五章定积分解决步骤：采取下列四个步骤来求面积A，（1）分割oty=f(x)在区间[ab]中任意插入n-1个分点把区间[a,b分成n个小区间【xi-1，x长度为△xi=Xi一Xi-1可axX.1x, x.bx（2）以不变代变在每个小区间「xi-1,xil上任取一点Si,以[xi-1,xil为底,f()为高的小矩形面积近似代替△A，即△A；～f)△xi=1,2,…,2n.第一节定积分的概念与性质

第一节 定积分的概念与性质 第五章 定积分 解决步骤￾: （1）分割 （2）以不变代变 ᵰ ᵰ i 采取下列四个步骤来求面积A. 在区间[a,b]中任意插入n − 1个分点 小矩形面积近似代替ΔAi

第五章定积分(3）求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值nnAA; ~f(si)Ax:A=i=1i=1（4）取极限当分割无限加细，即小区间的最大长度入=max[△x1,Ax2,…,△xn趋近于零（一→0)时，取极限，极限值就是曲边梯形的面积：n>A=limf() Axi入一0=1第一节定积分的概念与性质

第一节 定积分的概念与性质 第五章 定积分 （3）求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值. （4）取极限 当分割无限加细, 趋近于零 (λ→0)时, 取极限, 极限值就是曲边梯形的面积:

第五章定积分实例2变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度V=v(t)是时间间隔[T,T2]上t的一个连续函数，且v(t)≥0.求在运动时间内物体所经过的路程s解决步骤：to= Ti ti ... ti-ititi ... T2 =t.(1)分割:Ti = to< ti< t2<.….< tn-1< tn = T2,短时段 △ti = ti - ti-1(2）以常代变：短时段上路程的近似值△S;~v(t)△ti=1,2，…nn7（3）求和：路程的近似值S~v (ti)Atii=1n（4）取极限：路程的精确值s=limv(ti)Ati,其中α =_max (Ati})201≤1≤1i=1第一节定积分的概念与性质

第一节 定积分的概念与性质 第五章 定积分 实例2 变速直线运动的路程 解决步骤: （1）分割: （3）求和: （2）以常代变: t0 = = tn （4）取极限: 设某物体作直线运动, 已知速度v = v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的一 个连续函数, 且v(t) ≥ 0.求在运动时间内物体所经过的路程s. τi 短时段上路程的近似值 Δsi ≈ v(τi)Δti i, = 1,2, ⋯ ,n

第五章定积分17路程S=面积A=limlimv(ti)Atif()Axi1-01-0i=1i=1上述两个问题的共性：·解决问题的方法步骤相同：分割，以常代变，求和，取极限·所求量极限结构式相同：特殊乘积和式的极限类似的问题有许多：收益问题，变力沿直线所做的功等第一节定积分的概念与性质

第一节 定积分的概念与性质 第五章 定积分 上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同: • 所求量极限结构式相同:￾ 分割,￾以常代变,￾求和,￾取极限 特殊乘积和式的极限 类似的问题有许多: 收益问题,变力沿直线所做的功等

第五章定积分二、定积分的概念1.定积分的定义定义设函数0在[止有界在[中任意插入若干个分点a = xo < x1 < x2 <... < xn-1 <xn = b把区间分成个小区间[xo, x1],[x1, x2], ..., [xi-1, xi], ..., [xn-1, Xn]各个小区间的长度依次为Ax1 = x1 - xo ,,Axi = Xi - Xi-1 ,,△xn = xn - xn-1在每个小区间上任取一点E[x，xi-1],作乘积（1，…第一节定积分的概念与性质

第一节 定积分的概念与性质 第五章 定积分 二、定积分的概念 1. 定积分的定义 定义 设函数ᵰ(ᵰ)在[ᵰ,]上有界, 在[ᵰ,]中任意插入若干个分点 把区间[ᵰ,]分成ᵰ个小区间, 各个小区间的长度依次为 作乘积 ᵰ(ᵰ ᵰ)ᵰᵰ(ᵰ= 1, ⋯ ,ᵰ)

第五章定积分并作和nTf(si)Axi (i = 1,2,..,n)i=1记=max△x1,△x2,,△xn}，如果不论对[i怎样的分法也不论在小区间[xi-1,xi]上点怎样的取法，只要当0时，和Sn总趋于确定的极限即nZlimf(si)Axi = I1-0i=1记为则称这个极限为函数在区间止的定积分6f(x)dxa第一节定积分的概念与性质

第一节 定积分的概念与性质 第五章 定积分 并作和 如果不论对[ᵰ,]怎样的分法, 只要当ᵰ→0时, 则称这个极限ᵰ为函数ᵰ(ᵰ)在区间[ᵰ],上的定积分, 记为

第五章定积分即积分上限积分和n.b= =limf(x)dxf(s)Axi>1→0ai=1积分下限被积函数积分变量被积表达式[α,b]积分区间定积分是一个数其数值只依赖于被积函数f（x）的结构和上下注限而与积分变量的记号无关cbbbf(Od f( d Ff(x)dx=aaa第一节定积分的概念与性质

第一节 定积分的概念与性质 第五章 定积分 积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积分上限 积分和 积 分 变 量 注 即 定积分是一个数,其数值只依赖于被积函数f(x)的结构和上下 限,而与积分变量的记号无关. ᵰ ᵰ ᵰ ᵰ