《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）2.2 函数的求导法则

第二节函数的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则一二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式

第二节 函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 三、复合函数的求导法则 二、反函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式

第二章导数与积分思路：f(x+x)-f(x)f(x) = lim（构造性定义）△x4x-→0本节内容求导法则(c)= 0=COS X证明中利用了(sin x )1其他基本初等两个重要极限(ln x)-函数求导公式x初等函数求导问题第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则 第二章 导数与积分 思路: 求导法则 其他基本初等 函数求导公式 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 （构造性定义） 0 cos x 1 x 第二节 函数的求导法则 第二章 导数与积分

第二章导数与积分差、积、商一、函数的和、亲商的求导法则定理1如果函数u(x),v(x)在点x处可导,则它们的和、差、积、商（分母不为零)在点x处也可导，并且(1) [u(x) ± v(x)]'= u'(x) ±v'(x);(2) [u(x)v(x)]'= u'(x)v(x)+u(x)v'(x);u(x)u'(x)v(x) - u(x)v'(x)3 (v(x) ± 0).u2(x)(x下面只给出(3的证明，（1)和(2)的证明略第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则 第二章 导数与积分 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 下面只给出(3)的证明, (1)和(2)的证明略

第二章导数与积分u(x)u'(x)v(x) -u(x)v'(x)证(3)(v(x) ± 0).v2(x)v(x)u(x)设f(x)(v(x) ±0),v(x)u(x +h)u(x)f(x +h) -f(x)v(x + h)v(x)f'(x) = limlimhhh-→0h-→0u(x + h)v(x) -u(x)v(x + h)= limv(x + h)v(x)hh→0u(x+h)v(x) - u(x)v(x) - u(x)v(x +h) + u(x)v(x)limh-0v(x + h)v(x)h第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则 第二章 导数与积分 证

第二章导数与积分[u(x+h) - u(x)]v(x) - u(x)[v(x + h) - v(x)]= limh-→0v(x +h)v(x)hu(x +h)-u(x)v(x +h) - v(x): v(x) - u(x) :hhlim=h-→0v(x + h)v(x)hu'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]2证毕：f(x)在x处可导第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则 第二章 导数与积分 证毕

第二章导数与积分例1求=2×3-5x2+3×-7的导数解y'=6x2-10x+3.T例2 f(x) = + 4cos × sin爱f(x)及 f解f'(x)=3x2-4 sin x,344第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则 第二章 导数与积分 例1 例2 解 解 + 3. f(x)  = ᵆ 3 +  4cos x ᵆ sin π 2

第二章导数与积分y=e*(sin x + cos x), 求y'.例3解y'= (ex)'(sin x + cos x)+e*(sin x + cos x)= e*(sin x + cos x)+e*(cos x - sin x) = 2e*cos x.例4求y=tanx的导数(sinx)(sin x)'cos x - sin x(cos x)解y'= (tan x)'-cos2 xCoSX1cos?x + sin?x=sec2xcos2 xcos?x(cot x)=-csc2x.即同理可得(tanx)=sec2x.第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则 第二章 导数与积分 例3 解 例4 解 同理可得

第二章导数与积分例5 求y= sec x的导数，1' : (cos x) - 1 : (cos x)sin x解y'= (sec x)'=sec x tan x,cos2 xcos2 xcos x即(secx)=secxtanx.(cSc x)'= -cSc x cot x.同理可得第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则 第二章 导数与积分 例5 解 同理可得

第二章导数与积分二、反函数的导数定理2如果函数x=f(y)在某区间I,内单调、可导且f'（y）≠0则它的反函数=f-1(x)在区间Ix={x|x=f(y),E内也可导，且有11dy或[f-1(x)]"f'(y)dxdxdy第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则 第二章 导数与积分 二、反函数的导数 定理2 或 内也可导, 且有

第二章导数与积分证由定理条件可知，反函数y=f-1(x)存在且在Ix内单调、连续任取xE1x，给x以增量Ax±0则4V0且lim4y=0.AX-0111Ay: [f-1(x)]'= limlim证毕Ay-oAxAxf(y)Ax-0 △xlimAyAy-oAy即反函数的导数等于直接函数导数的倒数第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则 第二章 导数与积分 证 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 由定理条件可知, 证毕