《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）1.10 闭区间上连续函数的性质

第十节闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理*三、一致连续性

第十节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性

第一章函数与极限一、有界性与最大值最小值定理对于在区间/上有定义的函数f（x）,如果有xoE/使得对于任一xE/都有定义f(x) ≤f(xo)(f(x)≥f(xo))那么称f(xo）是函数f(x）在区间/上的最大（小）值例如：f(x)=1+sin x,在[0,2元]上ymax=2, ymin=0;f(x) =sgn x, 在( , +o)上,ymax=1, ymin =-1;在(0, +)上, ymax= ymin =1.f(x)=x,在开区间(a,b)内,既无最大值又无最小值第十节闭区间上连续函数的性质

第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限 一、有界性与最大值最小值定理 定义 例如: 使得对于 在[0,2π￾]上, 在(ᵆ ∞,￾+∞)上,￾￾ 在(0,￾+∞)上,￾￾ 既无最大值又无最小值

第一章函数与极限定理1（最值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值即: 设 f(x) EC[a, b],yAJ-f(α)则3, 52E [a, b],使f (Si)= min f(x),ax≤bf(x) .f (52)=max05152bxaa≤x<b第十节闭区间上连续函数的性质

第十节 连续函数性质 第一章 函数与极限 定理1 (最值定理)在闭区间上连续的函数 即： 使 值和最小值. 在该区间上一定有最大 第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限

第一章函数与极限定理1有界性定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界证设f(x) EC[a,b], 则vxE[a,b], 有m≤ f(x)≤M,取K=max[ml/M)},则有| f(x) |≤K.yA：函数f(x)在[a,b]上有界J=K注若函数在开区间内连续xa0b或在闭区间上有间断点y-f(x)K定理1和定理2未必成立第十节闭区间上连续函数的性质

第十节 连续函数性质 第一章 函数与极限 定理1’ (有界性定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 证 注 定理1和定理2未必成立. 第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限

第一章函数与极限例如：yAF1π121（-内连续：f(x)=tanx在开区间2'Tx元0元3元无界，无最大值，无最小2i22值y-tanx1-x + 1,0≤x<11,f(x)=x = 1,yA-x+1,0<x<10<x≤2.-x + 3,21,x=1,-x+3,1<x≤2在闭区间[0,2]上有间断点x=1-有界，无最大值，无最小值x02第十节闭区间上连续函数的性质

第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限 例如: 有界,无最大值,无最小 值 无界,无最大值,无最小 值 第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限

第一章函数与极限零点定理与介值定理定义如果x使f(xo）=0,则x称为函数f（x）的零点yi定理2(零点定理）设函数f(x）y=f(x)(1)在闭区间[a,b]上连续；(2) f(a) · f(b)<0.0xb则E(a,b),使得f()=0即方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根几何解释：连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧则曲线弧与x轴至少有一个交点第十节闭区间上连续函数的性质

第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限 二、零点定理与介值定理 定义 定理2 (零点定理) 几何解释:

第一章函数与极限定理3(介值定理）设函数f(x）yAy-f(x)(1)在闭区间[a,b]上连续；B(2) f(a)=A, f(b) =B,C则对介于A,B之间的任意常数C,至少有一点EE(a,b)，使得0as152b53xf(s)= C.证设F(x)=f(x)-C,则：F(x)在[a,b]上连续,F(a)·F(b)=(A-C)(B-C)<0.: E(a,b),使F()=0,即F()=F()-C =0,故f ()= C第十节闭区间上连续函数的性质

第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限 定理3 (介值定理) 证

第一章函数与极限推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与m最小值之间的任何值，几何意义（介值定理及其推论）连续曲线弧y=f(x）与水平直线V=C至少有一个交点JM其中的CBy=f(x)C或m≤C<Ma051x十52535h或f(a)≤c≤f(b)Am或f(b)≤c≤f(a)第十节闭区间上连续函数的性质

第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限 推论 几何意义(介值定理及其推论) C M B A m a ᵆ1 ᵆ2 b

第一章函数与极限例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一根证令f(x)=x3-4x2+1,则：f(x)在[0,1|上连续f (0)=1>0, f(1)=-20,二分法Q则(3,1)内必有方程的根;13取,1]的中点x=f（)<02则(，)内必有方程的根…·可用此法求近似根.第十节闭区间上连续函数的性质

第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限 例1 证 说明: 0                                    1 x 二分法    1 2 ￾ ⋯ ⋯可用此法求近似根. 3 4

第一章函数与极限例2设函数f(x)在区间[a,bl上连续,且 f(a)b证明E(a,b),使得f()=证令F(x) =f(x) -x,则：F(x)在[a,b|上连续F(a)=f(a) -a0,: 3E (a, b),使F()=f()-=0,即 f()=5第十节闭区间上连续函数的性质

第十节 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限 例2 证 ＜0, ＞0