《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性、四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性

第一章函数与极限一、四则运算的连续性定理1若函数f(x),g(x)在点xo处连续，则f(x)g(x),f(x)·g(x)f(x(g(xo)+0)在点x.处也连续g(x)例1： sin x,cos x 在(o,+o)内连续sin xcos x.. tan x =cotxAsin xcos x元3元0元x22211sec x =CSCxsin xcos x在其定义域内都是连续的第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 一、四则运算的连续性 例1 定理1 在其定义域内都是连续的

第一章函数与极限反函数与复合函数的连续性定理2连续单调递增(递减)函数的反函数也连续单调递增(递减）例2：y=sinx在[-2·2]上单调增加且连续,：y=arcsinx在[-1,1]上也是单调增加且连续；同理口y=arctanx1Y=arccosx在[-1,1]上单调减少且连续0.5Y= arctan x,1口-2-12□1-0.5Y=arccotx在[一oo,+oo]上单调且连续-1结论反三角函数在其定义域内皆连续第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 二、反函数与复合函数的连续性 连续单调递增 函数的反函数 例2 -2 -1 1 2 1 0.5 ᵆ ᵆ -0.5 -1 y = arctan x (递减) 也连续单调递增(递减). 结论 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理2 ᵆ

第一章函数与极限定理3设函数y=f[g(x)l由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，limg(x)=uo,函数f(u)在点u.连续,则有x-limf[ g(x)]=f (limg(x).对于x→80情形类似可证X→证：f(u)在点u=u连续: >0,日n>0,当|u-uol0,s>0,当0<|x-xol<s时X→x有|g(x)-uol<n,因而|f[g(x))-f(uo)/<e,故 lim f[g(x)]=f(uo)=f[limg(x)]注定理3表明在一定条件.函数符号f与极限符号可交换第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 证 注 定理3

第一章函数与极限x-3求lim例3x2 -9x-3x-3x-3解复合而成可看做由y=vu与uL:y:x2- 9+2O11x-3x-3limlim:lim6'x-3x29x-3x+3一x-3 (x + 3)(x - 3)1y=Vu在=处连续，61V6x-3x-3.. limlimx-3x266x299X3V第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 例3 解 求

第一章函数与极限定理4连续函数的复合函数是连续的.（是定理3的特殊情况）证设f(g(x))在lim g(x)处连续,g(x)在xo连续b则 lim f[g(x)= f(lim g(x) = f(g(xo)J-sin ↓X-→X0故复合函数flg(x))在点xo连续例41.2讨论函数y= sin-的连续性，65解y=sin=可看作y=sinu与u==复合而成XY1u==在(00,0)与(0,+o)内连续，y=sinu在(-0o,+)内连续x7：y=sin-在(-8o,0)与(0,+oo)内连续X第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 定理4 连续函数的复合函数是连续的. 例4 解 证 （是定理3的特殊情况） 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限

第一章函数与极限三、初等函数的连续性★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的冷指数函数y=ax(a>0,a±1)在(-8,+)内单调且连续对数函数y =logax(a>0,a ± 1)在(0,+o)内单调且连续;★★ y=xu=aulogaxy=a只u=μlogx,在(0,+oo)内连续讨论μ不同值，可得到★幂函数在其定义域内连续定理5基本初等函数在定义域内是连续的第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 三、初等函数的连续性 y = x μ ★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ ★ 幂函数在其定义域内连续. 讨论μ不同值, 可得到 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. y = aᵆ , u = μlogax

第一章函数与极限一切初等函数在其定义区间内都是连续的定义区间是指包含在定义域内的区间y=V1-x2在其定义区间[-1,1]上连续.(端点为单侧连续)例如：注初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续例如：为孤立点集y=Vcosx-1,0±2π±4π,..函数在这些孤立点的邻域内没有定义，故在D内不连续y= /x2(x -1)3, D:E 0及x≥1 ,函数在0点的邻域内没有定义，在区间[1,+)上连续第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 例如: 注 例如: (端点为单侧连续) ᵆ:ᵆ= 0,±2π,±4π,··· D:ᵆ= 0,及x ≥ 1 , 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限

第一章函数与极限In(1+x)loga(1+x)例5特别地，a=e时，lim求lim=1xxx-0x-01解原式=limloga(1 + x)=logaiInax-0ax-1ex例6求lim特别地，a=e时，limxxx-→0X-0t解令t=a×-1,则x=loga(1+t),原式=lim=Ina.t=o loga(1 + t)结论：当x→0时，有ax- 1~xln a,ex- 1~x,ln(1 + x)~x.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 例5 解 例6 解 令t = a x − 1, 结论： = logae = ln a

第一章函数与极限(1 +x)α- 1例7求lim=α(α E R)x-0x解令(1+x)α1=t,则当x→0时t—0,于是(1+ x)~-1 αln(1 +x)原式=limαln(1 + x)xx-→0tαln(1 + x)=limlima.t=0ln(1 + t)xt→0说明：当x→0时,有(1 +x)~=1～α第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 例7 有(1 + x) α − 1~αᵆ. 解 则当x→0时,t→0, 于是 说明: