《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）3.3 泰勒公式

第三节泰勒公式泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用

第三节 泰勒公式 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用

第三章微分中值定理与导数的应用泰勒公式的建立1.问题的提出x的一次多项式在微分应用中已知近似公式：f(x)～f(Xo)+f(X)(×一Xo)pi(Xo) = f(Xo)pi(x)特点：pi(xo) = f(xo)y4不足：精度不高误差不能估计，f(x)以直代曲pi(x)问题：(1)寻找函数p(x)使得f(x)~ p(x).(2)误差R(x) = f(x) 一(x)可估计.0+xXo第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、泰勒公式的建立 1. 问题的提出 在微分应用中已知近似公式: f(x) ≈ f(x0) + f ′ (x0)(x − x0) p1(x) 特点: p1(x0) = f(x0) p ′ 1(x0) = f ′ (x0) 不足: 精度不高,误差不能估计. 问题: (1)寻找函数p(x),使得f(x) ≈ p(x). (2)误差R(x) = f(x) − ᵼ(x)可估计. 以 直 代 曲

第三章微分中值定理与导数的应用2.p(x）的确定设函数f(x)在×。处具有n阶导数，p(x)为如下多项式函数：pn(x) = ao+ ai(x -xo) + a2(x-xo)2 + ... +an(x- Xo)r误差R(x) = f(x) - pn(x).yA1.若在×o点相交近似程度越来越好pn(×o) = f(×o)F(x)分析2.若有相同的切线pn(xo) =f(xo)3.若弯曲方向相同p,(xo) = f(xo)0XoX第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 设函数f(x)在x0处具有n阶导数, p(x)为如下多项式函数： pn(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0) 2 + ⋯ + an(x − x0) n 误差R(x) = f(x) − pn(x). 分 析 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在x0点相交 pn(x0) = f(x0) 2.若有相同的切线 p′ n(x0) = f ′ (x0) 3.若弯曲方向相同 p″ n(x0) = f ″ (x0) ⋯ ⋯ ⋯  ⋯

第三章微分中值定理与导数的应用求pn(x) = ao + ai(x- Xo) +a2(x -Xo)2 + ... + an(x -Xo)n要求pl (x0) = f(k)(x0)k = 0,1,2,...,n. 则1p(Xo) = f(xo)ao = f(xo)pn(xo) = f(Xo)1 ai = f(xo)1ak=kpr(xo) = f(xo)2! a2 = f(xo)(k = 0,1,2,...,n)p,(xo) = f"(xo)3! a3 = f(xo)p"(x0) = f(n)(x0) n!an = f(n)(xo)"(xo)xo)n:pn(x)=f(xo)+f'(xo)(x-xo)-2!n!第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 求pn(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0) 2 + ⋯ + an(x − x0) n 则 p(x0) = f(x0) a0 = f(x0) p′ n(x0) = f ′ (x0) 1 ⋅ a1 = f ′ (x0) p″ n(x0) = f ″ (x0) 2! ⋅ a2 = f ″ (x0) p‴ n(x0) = f ‴ (x0) 3! ⋅ a3 = f ‴ (x0) ⋯⋯⋯ ⋯

第三章微分中值定理与导数的应用3.泰勒中值定理泰勒中值定理1则存在的如果函数在处具有阶导数一个邻域，对于该邻域内的任一有f"(xo)f(x) = f(xo) + f'(xo)(x - xo)(x - xo)22!f(n)(xo)1(x-xo)n +o((x-xo)")+.n!其中幼=称为佩亚诺（余项1式称为函数在处的带有佩亚诺余项的阶泰勒公式，(或按(x一xo)的幂展开）第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 3. 泰勒中值定理 泰勒中值定理1 如果函数ᵼ(ᵼ)在ᵼ0处具有ᵼ阶导数, 则存在ᵼᵼ的 一个邻域, 对于该邻域内的任一ᵼ,有 其中 ᵼᵼ(ᵼ) = ᵼ((ᵼ− ᵼ0) ᵼ)称为佩亚诺(ᵼᵼᵼᵼᵼ )余项. ① 式称为函数ᵼ(ᵼ)在ᵼ0处的带有佩亚诺余项的ᵼ阶泰勒公式. ①

第三章微分中值定理与导数的应用证令=-（称为余项），则有= ... = R(m)(xo) = 0&使用洛必达法则=Rn(α)R"(x)Rn(x)limlimlim小x-xo n(n - 1)(x - xo)n-2x-xo n(x - xo)n-1x-xo(x- xo)nR(n-1)(x)R(n-1)(x) - R(n-1)(xo)1771=limlimx-xon!(x - xo)n!x-xox-xo二 r(m)(x0) = 0.inn!即（证毕第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 证 (称为余项)￾,则有 ᵼᵼ (ᵼ0 ) = ᵼ ′ ᵼ (ᵼ0 ) 使用洛必达法则 即  ᵼᵼ (ᵼ) = ᵼ((ᵼ− ᵼ0 ) ᵼ) (ᵼ→ᵼ0 ). 令 ᵼᵼ (ᵼ) = ᵼ(ᵼ) − ᵼᵼ (ᵼ) 证毕

第三章微分中值定理与导数的应用泰勒中值定理2( 1)阶如果函数在的某个邻域()内处具有导数，则对任一[年()有f"(xo)X0f(x) = f(xo) + f'(xo)(x - xo)0-xo2 -xo72!n!f(n+1)(5)2(x-xo)n+1,(在xo与x之间)X(n + 1)!f (n+1)()其中Rn(x)(x一xo)n+1称为拉格朗日(Lagrange)余项(n + 1)!式称为函数0在处的带有拉格朗日余项的阶泰勒公式(或按(x一xo)的幂展开)第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 泰勒中值定理2 如果函数ᵼ(ᵼ)在ᵼ0的某个邻域ᵼ(ᵼ0)内处具有 导数, 则对任一ᵼ∈ ᵼ(ᵼ0),有 ② 式称为函数ᵼ(ᵼ)在ᵼ0处的带有拉格朗日余项的ᵼ阶泰勒公式. ② (ᵼ+ 1)阶

第三章微分中值定理与导数的应用证令 Rn(x)=f(x)-Pn(x) (称为余项),则有Rn(Xo）=R(×o)…= R(m(xo）=0使用柯西准则Rn(x)Rn(51)Rn(x) - Rn(xo)(n + 1)(51- xo)n(51在xo与x之间)(x - xo)n+1(x-xo)n+1R"(52)Rn() - Rn(xo)(n + 1)n(52 - xo)n- ( 2在×与 1之间)(n + 1)(Si -xo)n - 0 R(n+1)(5)R(n) (En) - R(n (xo)(口在X。与×之间）(n + 1) !(n + 1) - 2(n - xo) - 0第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 证 Rn(x) = f(x) − pn(x) (称为余项)￾, 则有 Rn(x0) = R′ n(x0) (ᵼ 2在x0与ᵼ 1之间) = ⋯ (ᵼ 在x0与 x 之间) 令 使用柯西准则

第三章微分中值定理与导数的应用Rat)Rn(x)C即在与之间）一xo)n+1(n + 1) !X(n+1)(x) = 0, : R(n+1)(x) = f(n+1)(x)Pnf(n+1)()(x－xo)n+1(在与之间)证毕Re(n + 1) !特别地,对固定的n,当 x EU(xo）时，If(n+1)(x)/≤M,则有估计式MIx - xo|n+1IRn(x)/≤(n + 1)第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 (ᵼ 在ᵼ0与ᵼ之间) (ᵼ 在ᵼ0与ᵼ之间) 特别地, 则有估计式 证毕

第三章微分中值定理与导数的应用n(k) (xo)注(1)pn(x)xok!k=0称为函数在处（或按（的幂展开)的次泰勒多项式nf(k)(xo)+T-xo)k+ Rn(x) ~ ()(2) f(x) =k!k=0佩亚诺余项幼（不能具体估算出误差的大小，f(n+1)()■拉格朗日余项Rn(x)(x一xo)n+1给出了误差估计式：(n + 1) !M- xo/n+1■当x E U(xo), If(n+1)(x)≤M时,有|Rn(x)/≤(n + 1)第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 注 称为函数ᵼ(ᵼ)在ᵼ0处(或按(ᵼ− ᵼ0)的幂展开)的ᵼ次泰勒多项式. ≈ ᵼᵼ(ᵼ) ∎佩亚诺余项ᵼᵼ(ᵼ) = ᵼ((ᵼ− ᵼ0) ᵼ) 不能具体估算出误差的大小. 给出了误差估计式：