《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）4.3 分部积分法

第三节分部积分法一、问题二、分部积分法

一、问 题 二、分部积分法 第三节 分部积分法

第四章不定积分一、分部积分公式问题xe*dx =rdx:x sinxdx:特点被积函数是两个不同函数的乘积解决思路利用两个函数乘积的求导法则，过程 设函数u =u(x)和v = v(x)具有连续导数uv =(uv)" -u(uv)'= u' v+ uv两边积分u'dxuv'dx = uv -udx=uvvdu.分部积分公式第三节分部积分法

第三节 分部积分法 第四章 不定积分 一、分部积分公式 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分公式 过程 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, 特点 被积函数是两个不同函数的乘积 (uv) ′ = u′ v + uv⇒′ 两边积分 问题 uv ′ = (uv) ′ − u′ v

分部积分公式uv'dx =uvu'vdx和的选取原则(1)v'的选取要使v易求出(2)u'vdx 比uv'dx容易计算

第三节 分部积分法 第四章 不定积分 分部积分公式 ᵆ和ᵆ′的选取原则

第四章不定积分）二、例题例1 求解 设u= cosx，' = x,x cos xdx.x2解设u=x，v'=cosx,则u'=-sinx,v=2则u=1,=sinxvduudx =uv-n'dx =uv-u'vdxcosxdx1x cosxdx2tsinxdxcosx+22= xsin x-sin xdx日选择不当积分更难进行= xsin x + cosx+cC第二节换元积分法

第四章 不定积分 第二节 换元积分法 ᵆ,ᵆ′ 选择不当,积分更难进行 二、例题 例1 解 解

第四章不定积分例3 求x?exdx.uv'dx =udve口解vdu=uvx?e*dxx?dexu'vdx=uvx2exxe"dx再次使用分部积分法=x2ex-2xdex=x2ex- 2(xe)e"dx)+C=e(?-2±2)+第三节分部积分法

第三节 分部积分法 第四章 不定积分 ᵆ ᵆ′ 例3 解 再次使用分部积分法 eᵆᵆ= ᵆ = eᵆ(ᵆ 2 − 2ᵆ+ 2) + ᵆ

第四章不定积分例4求x ln xdx.解（若设=Inx则不容易求出）设u=lnx, u'=x则x ln xdxuv'dx:udv22x?d(ln x)In x22vdu=uv2+21u'vdx=uvInxdx22x2+2112InxxdxInx+C2224第三节分部积分法

第三节 分部积分法 第四章 不定积分 例4 解

第四章不定积分例5求arccos xdx.解（若设v=arccosx，则v不容易求出）设u=arccosx,v'=1Suv'dx =则arccosxdxudyxd(arccos x)=xarccosxvdu=uv-xu'vdxdx=uv=xarccosxr21- x2)-2d(1 - x2)= x arccos x - /1 - x2 + C=xarccosx第三节分部积分法

第三节 分部积分法 第四章 不定积分 例5 解

第四章不定积分例5 求x arctan xdx解x arctan xdx =arctan xd+2C+2r221d(arctan x)arctan xdxarctan x二22221+x22dxarctan x1 + x221(x - arctan x) + C.arctanx22第三节分部积分法

第三节 分部积分法 第四章 不定积分 例5 解

第四章不定积分从以上例子可看出对于xneaxdx和xn sinbxdx,选择手日xn cos b xdx.对于和x"arcsinxdx,xninxdx选择口=日xnarccos xdx,xnarctan xdx第三节分部积分法

第三节 分部积分法 第四章 不定积分 从以上例子可看出 选择 ᵆ= ᵆᵆ 选择 ᵆ′ = ᵆᵆ

第四章不定积分例7 求ex sin xdx.解sin x dex = e* sin x -e" sin xdxe*d(sinx)e cosx dx = ex sinx -cosxdex= e sinx -= ex sinx - (ex cos x -e*d cos x)e* sin xdx= e*(sin x - cos x)注意循环形式otsin xdx(sin x - cos x) + C.2第三节分部积分法

第三节 分部积分法 第四章 不定积分 注意循环形式 例7 解