《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）6.1 定积分的元素法

第一节定积分的元素法一、问题的提出二、元素法的条件和三步曲

第一节 定积分的元素法 一、问题的提出 二、元素法的条件和三步曲

第六章定积分的应用yA问题的提出y=f(x)回顾曲边梯形求面积的问题dAf(x)曲边梯形由连续曲线y = f(x)(f(x)≥ 0),xOxx+dxba直线x=ax=b及x轴所围成，[xx + △x]面积元素(1)分割dA△A~f(x)dx(2)以常代变6Z(3)求和△AA=A=f(x)dxq>(4)取极限f(x)dx =A = limf(x)dxO■第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 一、问题的提出 回顾 曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线 y = f(x)(f(x) ≥ 0), 直线x = a,x = b 及x轴所围成. [x,x + Δx] 面积元素 dA ΔA ≈ f(x)dx

第六章定积分的应用在工程技术中有很多量的计算都要用这种方法转化头定积分的计算，例如：平面图形的面积体积；平面曲线的弧长；功水压力：引力和平均值等因此对这种方法要进行研究和简化研究和简化的结果就产生了应用定积分解决问题的元素法■第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 在工程技术中,有很多量的计算,都要用这种方法转化为 定积分的计算. 因此对这种方法要进行研究和简化. 研究和简化的结果就产生了应用定积分解决问题的元素法. 例如: 第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用

第六章定积分的应用二、元素法的条件和三步曲1.应用定积分解决问题的条件（1)所求量U是与一个变量的变化区间[ab|有关的量：(2)所求量U对于区间[ab]具有可加性就是说如果把区间[ab]分成许多部分区间则U相应地分成许多部分量而U等于所有部分量之和，(3)部分量△U的近似值可表示为f(口)△X就可以考虑用定积分来表达这个量U这种分析方法成为元素法（或微元分析法）第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 这种分析方法成为元素法(或微元分析法) 二 、元素法的条件和三步曲 1. 应用定积分解决问题的条件 (1)所求量U是与一个变量的变化区间[a,b]有关的量; (2)所求量U对于区间[a,b]具有可加性,就是说,如果把区间[a,b] 分成许多部分区间,则U相应地分成许多部分量,而U等于所有 部分量之和. (3)部分量ΔUi的近似值可表示为f(￾ i)Δxi ,就可以考虑用定积分 来表达这个量U. 第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用

第六章定积分的应用2.元素法的三部曲步骤1依据所求问题选取适当的积分变量例如X并确定其范围xE[ab]步骤2任取xx+dxE[ab]考虑区间[xx+dx]上所求量U的表达式称为U的微元表达式dU = f(x)dx步骤3以所求量U的微元为被积表达式在区间[ab]上作定积分.bU =f (x)dx得到所求量U的积分表达式a■第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 2. 元素法的三部曲 x ∈ [a,b] 步骤2. 任取x,x + dx ∈ [a,b],考虑区间[x,x + dx]上所求量U的表达式 步骤1. 依据所求问题,选取适当的积分变量例如x并确定其范围 , 步骤3. 以所求量U的微元为被积表达式,在区间[a,b]上作定积分 dU = f(x)dx 称为U￾的微元表达式 得到所求量U￾的积分表达式