《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）4.2 换元积分法

第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法

一、第一类换元法 二、第二类换元法 第二节 换元积分法

第四章不定积分一、第一类换元法e2xdxe2x + C1.问题(e2x)' = 2e2x ±e2x解决方法e2x由euu=2x复合而利用复合函数设置中间变量成, 且 dx=d(2x)1过程令 u= 2x = dx=du,1112xdxe2xeu du = + CI2e'+(C222x第二节换元积分法

第二节 换元积分法 第四章 不定积分 一、第一类换元法 1. 问题 解决方法 利用复合函数,设置中间变量. 过程 令 u = 2x ⇒ dx = 1 2 du, = 1 2 e u + C 2x dx = 1 2 d (2x) 第二节 换元积分法 第四章 不定积分

第四章不定积分在一般情况下：设F(u) = f(u), 则 /f(u)du = F(u) + C.如果u=β(x)(可微)dF[β(x)] = f[(x)](x)dxf[p(x)]'(x)dx = F[p(x)] + C[f(u)dulu=(x）由此可得换元法定理第二节换元积分法

第二节 换元积分法 第四章 不定积分 设F ′ (u) = f(u), 则 如果 u = φ(x) (可微) ∵   dF[φ(x)] = f[φ(x)]φ ′ (x)dx 由此可得换元法定理

第四章不定积分设f(u）具有原函数u=p(x）可导则有换元公式[F[p(x)p'(x)dx =[/ f(u)dulu=8(x)定理1即| f [p(x)]p'(x)dx =| f [0(x)]dp'(x)第一类换元公式（凑微分法）说明：使用此公式的关键在于将g(x)dx 化为 / f[p(x)]p'(x)dx .观察重点不同，所得结论不同第二节换元积分法

第二节 换元积分法 第四章 不定积分 定理1 设f(u)具有原函数,u = φ(x)可导,则有换元公式 使用此公式的关键在于将 化为 说明: 即 第二节 换元积分法 第四章 不定积分

第四章不定积分uk+1例求(2x - 1)10 dxukdu+Ck+110du解(2x - 1)10 =d(2x- 1μ= 2x1(2x-dx=1ul1(2x - 1)111+C+C=2112211例2求/dxdu=Inlul+c3 +2xu11111解dxd (3 + 2x)duu= 3 + 2x23+2x23 +2xu11= 2ln|u| + C= 2ln|3 + 2x| + C第二节换元积分法

第二节 换元积分法 第四章 不定积分 u = 2x − 1 例2 u =3+ 2x     例     解             (2x   − 1)  1 2                     解         (3 + 2x)      1     2         = 1 2 In|u| + C     = 1 2 In|3 + 2x| + C

第四章不定积分t2例3求dxX+2u=x+2(u-2)2-4u+422解dududxu3u313(x+2)-1-4u-2+4u-3)du= lnlul + 4u-1 - 2u-2 + C42= In|x + 2| +(x + 2)2 + Cx+ 2第二节换元积分法

第二节 换元积分法 第四章 不定积分 解 例3 u = x + 2

一般设a≠Oab均为常数，且F(u)=f(u)1/f(ax+b)dxf(ax+b)d(ax+b二a1中+口

第二节 换元积分法 第四章 不定积分 一般 设a ≠ 0,a,b均为常数, 且F ′ (u) = f(u) = 1 ᵱ ᵱ(ᵱᵱ+ ᵱ) + ᵱ

第四章不定积分xV1 - x2 dx.例5 求熟练后不再写出中间变量解解x1-x2dxx/1 -x2 dx/1-x2.xdx1-x2.xdx令u= 1-x21zdu则du=-2xdx23uz + C23Y211-x2)x2)02+0(102+0?第二节换元积分法

第四章 不定积分 第二节 换元积分法 例5 解 令u = 1 −x2 则du = − 2xdx 熟练后,不再写出中间变量 解

第四章不定积分常用的几种配元形式：f(ax + b) dx(1)(ax + b)d(ax + b)一万能凑幂法)dxnf(xn)xn-1dx(2)F?[f(xn)=dx =dxn3n1f(sin x) cos xdx = f(sin x) dsin x(4)f(cosx) sin xdx = - f(cos x) dcos x5第二节换元积分法

第二节 换元积分法 第四章 不定积分 1 a 1 n 1 n − 万 能 凑 幂 法 常用的几种配元形式:￾ 第二节 换元积分法 第四章 不定积分

f(tan x) sec2 xdx =(6)f(tan x) dtan x|f(e*)e*dx =|f(e*) dex7f(In x)=dx =f(lnx)dln x8

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