《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）7.3 齐次方程

第三节齐次方程一、齐次方程可化为齐次方程二

第三节 齐次方程 一、齐次方程 二、可化为齐次方程

第七章微分方程一、齐次方程dy的形式，如果一个一阶微分方程可化为0dx1.定义X那么就称这方程为齐次方程dyn71例如：ylnXdxdxxxxdy(xy -y2)dx- (x2 - 2xy)dy = 0dx1 - 2(岁)第三节齐次方程

第三节 齐次方程 第七章 微分方程 一、齐次方程 1.定义 例如: 如果一个一阶微分方程可化为 的形式, (xy − y 2 )dx − (x 2 − 2xy)dy = 0 那么就称这方程为齐次方程

第七章微分方程2.解法dy步骤1将齐次方程转化为形式dxduydy则步骤2代入①式，得y=uxu+x令u=dxdxX'du(u)-uxdxy步骤3②是可分离变量的微分方程求解后再用代替u,便得原方程的通解第三节齐次方程

第三节 齐次方程 第七章 微分方程 2. 解法 步骤1￾￾将齐次方程转化为形式 ① 步骤2￾￾令u = y x , ② 步骤3￾￾ 求解后再用 y x代替u, 便得原方程的通解

第七章微分方程3.典型例题dydyr2例1解方程y2xydxdx学J2dy解原方程可写成yxy - x2dx1xdydu令甲口则y=t代入上式，得u+xux,dxdx口u2duduu即xu+xdxdxu-1-1u11分离变量,得dudx-=ux第三节齐次方程丽

第三节 齐次方程 第七章 微分方程 解 3. 典型例题 例1 原方程可写成 令ᵆ= ᵆ ᵆ

第七章微分方程1dxdu二xu两端积分,得u-In|u|+Ci=In|xl,或写为In | xul = u + Ci.将日代入，得口Inlyl=+ Cix或 y= Cex (C = ±eC1)第三节齐次方程

第三节 齐次方程 第七章 微分方程 将 ᵆ= ᵆ ᵆ 代入,  得

第七章微分方程例2#探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面，它的形状由xOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成，按聚光镜性能的要求在其旋转轴（x轴）上一点处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴平行，求曲线L的方程M解将光源所在点取作坐标原点s并设L:y=f(x)(y≥O).0FNx由光的反射定律：入射角=反射角■第三节齐次方程

第三节 齐次方程 第七章 微分方程 例2 经它反射后 解 并设 L: y = f(x)  ( y ≥ 0) . 由光的反射定律: 入射角 = 反射角

第七章微分方程可得OMA=OAM=从而AO=OM,而AO-AP-OP=ycotα-xyyxMay'S0M=/x2 +y2TaoPNx于是得微分方程：yd xx得变形，Sdyy第三节齐次方程

第三节 齐次方程 第七章 微分方程 可得 ᵆ OMA￾=￾ᵆ OAM￾=￾￾ ￾, 从而 AO￾=￾OM￾. 而￾￾￾￾￾AO= AP − OP 于是得微分方程 :￾ 变形,￾得

第七章微分方程dxXdyydxdvx则x=yv2+ydydv于是方程变为Vdy可求得其通解为ln(+V1+2）=Iny-lnC.C代回原来的变量并化简，得y2=2C(×+2)，第三节齐次方程

第三节 齐次方程 第七章 微分方程 令 v = x y , 则x = yv, 于是方程变为 可求得其通解为 y 2 = 2C(x + C 2 )

第七章微分方程*二可化为齐次的方程dyax +by +c1.定义方程dxaix +biy+ci当c=C1=0时是齐次的当c2+c2≠0时，是非齐次的，但可以化为齐次方程求解x=X+1令y=Y-5dydyX+Yx+y+4例如：dxX-Ydxx-y-6第三节齐次方程雨

第三节 齐次方程 第七章 微分方程 1.定义 例如: *二、可化为齐次的方程 方程

第七章微分方程2.解法分两种情况biai=X+h(1)当时，作变换(h,k为待定常数)Ty=Y+kbadyaX + by + ah + bk + c则原方程化为dxaX+bY+ah+b+Cah+bk+c=o,今解出h,k.aih +bik+ C1 = 0,dYaX + byX=x-h代入，求出其解后,将齐次方程Y=y-kdxa,X + b,Y第三节齐次方程

第三节 齐次方程 第七章 微分方程 齐次方程 2. 解法 分两种情况 则原方程化为