《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）§4.3 非齐次线性方程组

线性代数 第四章祥彩光品堂84.3非齐次线性方程组一、非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组的通解

线性代数 第四章 §4.3 非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解

线性代数 第四章祥祥花光国对于非齐次线性方程组：aiiX +ai2X2 +...+anxn =b,.(4-1)a21Xi +a22X2 +... +a2nxn =b2,bamiX +am2X2 +...+amnxX, = imb,X1ala12ain6X2a21a22aan记A=,b=,=banlan2aXmnm

线性代数 第四章 对于非齐次线性方程组: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + ++ =   + ++ =     + ++ =  ， (4-1) 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , n n n n mn n m a a a x b a a a x b A x b a a a x b                     = = =                          记

线性代数 第四章则线性方程组(4-1)可记为J Ax=b.齐次线性方程组ax, +aix, +...+ainxn =0,a2iX, +a22X, +... +a2nx, =0,(4-5)amX +am2X, +...+amnXn=0.可记为Ax=0.我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的齐次线性方程组

线性代数 第四章 则线性方程组(4-1)可记为 Ax=b. 齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + ++ =   + ++ =     + ++ =  ， 可记为 Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1) 对应的齐次线性方程组. (4-5)

线性代数 第四章美品章非齐次线性方程组有解的条件一、定理3:非齐次线性方程组 Amxnmx1=bmxl有解台r(A)=r(A)并且,当 r(A)=r(A)=n 时,有唯一解;当 r(A)= r(A)<n 时,有无穷多解

线性代数 第四章 一、非齐次线性方程组有解的条件 定理3: 非齐次线性方程组 A x b m n n m    1 1 = 有解  = r A r A ( ) ( ) 并且 , 当 r A r A n ( ) = = ( ) 时, 有唯一解； 当 r A r A n ( ) =  ( ) 时, 有无穷多解

线性代数 第四章祥祥花光国二、非齐次线性方程组解的性质性质4.3.1：N1,2 是AmxnXnx1=bmx1的解，则ni一n2 是对应的齐次线性方程组Ax = 0 的解证明:[因A(n-n2)=b-b=0.所以x=n一n,满足方程Ax=0.]

线性代数 第四章 二、非齐次线性方程组解的性质 性质4.3.1： 1 2  , 是 的解，则   1 2 − Ax = 0 A x b m n n m    1 1 = 是对应的齐次线性方程组 的解。 [因A b b (  1 2 − = − = ) 0. 1 2 所以 0.] x Ax = − =   满足方程 证明：

线性代数第四章性质4.3.2设n是方程组A1mxnXnx1=bmx的解，5是方程组AmnXnx1=0 mx1的解，则x=n+&是方程组A1mxnXnx1= bmxl的解.X1证明： A(+n)=A+An=0+b=b,所以x=+n是方程 Ax =b的解

线性代数 第四章 1 1 1 1 1 1 4 . 0 . 3.2 m n n m m n n m m n n m A x b A x x A x b              = = = + = 设 是方程组 的解， 是方程组 的解， 则 是方程组 性 的解 质 证明： A( +) = A + A = 0 + b = b, 所以x =  + 是方程 Ax = b的解

线性代数 第四章美品三、非齐次线性方程组的通解若 AmxnXnx1=bmx1(1)有解，则其通解为:x=n+k5i +k,$ +...+kn-rsnn-其中n是（1）的一个特解，5i,52...,5n-,是方程组Ax=0的基础解系分析: 1. 证明x=n +k,5 +k,52 +...+kn-r5n-r 是解;2.任一解都可以写成：x=n +kS +k,5, +...+kn-r5n-r的形式

线性代数 第四章 分析: 三、非齐次线性方程组的通解 若 1 1 (1) A x b m n n m    = 有解，则其通解为: 1 1 2 2 * n r n r x  k k k    = + + ++ − − 其中 *  是（1）的一个特解， 1 2 , , , 0    n r Ax  = − 是方程组 的基础解系 1. 证明 1 1 2 2 是解； * n r n r x  k k k    = + + ++ − − 2. 任一解都可以写成: 1 1 2 2 的形式。 * n r n r x  k k k    = + + ++ − −

线性代数 第四章祥祥花光国例1：求解方程组X +x2 -3x -x4 =1,3x - X, -3x +4x = 4X +5x, -9x -8x = 0.解：对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形A=/3 -1J-9-8-7 -1-6

线性代数 第四章 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1, 3 3 4 4, 5 9 8 0. x x x x x x x x x x x x  + − − =   − − + =   + − − = 例1：求解方程组 1 1 3 1 1 3 1 3 4 4 1 5 9 8 0 A   − −   = − −       − − 2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 ~ 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 r r r r − − −     −   − − − −     解： 对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形

线性代数第四章光国祥年花5331231144+123r1福21得到与原方程组同解的方程组：33二XX2437X2

线性代数 第四章 3 2 2 1 1 3 1 1 3 7 1 ~ 0 1 244 1 ( ) 0 0 0 0 0 4 r r r   − − +     −−−      −   1 2 3 3 5 1 0 2 4 4 3 7 1 ~ 0 1 244 0 0 0 0 0 r r   −   −     −−−       得到与原方程组同解的方程组： 1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 , 2 4 4 x x x x x x  − + =    − − = − 

线性代数 第四章3-23-23X1=4原方程组所对应的即7齐次方程组的一个X3-4X+R基础解系为：令=X=03-23-253得到特解：44715 =5214N1000

线性代数 第四章 1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 . 2 4 4 x x x x x x  = − +    = + −  即 原方程组所对应的 齐次方程组的一个 基础解系为： 1 3 2 3 2 1 0          =           2 3 4 7 4 0 1    −      =           * 5 4 1 4 0 0          = −           3 4 令 x x = = 0 得到特解：