《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）§3.2 逆矩阵（§3.3 初等矩阵）

线性代数 第三章大$ 3.2逆矩阵( $ 3.3初等矩阵）逆矩阵概念及唯一性二=矩阵可逆的判别定理及求法可逆矩阵的性质四、典型例题五、用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵六、小结

线性代数 第三章 §3.2 逆矩阵 （§3.3 初等矩阵） 一、逆矩阵概念及唯一性 二、矩阵可逆的判别定理及求法 三、可逆矩阵的性质 四、典型例题 五、用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵 六、小结

线性代数第三章第花老三堂逆矩阵概念及唯一性概念的引入：在数的运算中，当数α≠0时，有aa- = a-'a=l,其中a-=为的倒数，（或称a的逆）；a在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A-1使得 AA-=A-A=E,则矩阵A-称为A的逆矩阵或逆阵

线性代数 第三章 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A -1 , 使得 , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的逆矩阵或逆阵. −1 A 1, 1 1 = = − − aa a a 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = − 其中 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 一、逆矩阵概念及唯一性 概念的引入:

线性代数第三章祥年花老三逆矩阵的概念定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B使得AB = BA= E:则称A是可逆的，并称B为A 的逆矩阵-252例如B=A=2T-2有AB=BA=E，所以A与B互为逆阵

线性代数 第三章 定义3.2.1 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得 AB = BA = E； 则称 A 是可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 逆矩阵的概念 1 2 5 2 , 2 5 2 1 A B     − = =         − 例如 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵

线性代数第三章祥花光三堂唯一性：老若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.证明：若设B和C是A的可逆矩阵，则有AB=BA=E, AC=CA= E可得 B = EB= (CA)B =C(AB) = CE = C.所以A的逆矩阵是唯一的,记作A-1B= C = A-1

线性代数 第三章 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1 1 B C A . − = = 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是 唯一的. 证明：

线性代数第三章祥年装老川矩阵可逆的判别定理及求法二、乡a12ain2)0a2n设A=aaan2nlnnA称为A的构造矩阵j伴随矩阵An2nn其中A.是矩阵A中元素a.的代数余子式

线性代数 第三章 构造矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A       =       称为 A 的 伴随矩阵. 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       其中A A a ij ij 是矩阵 中元素 的代数余子式 二、矩阵可逆的判别定理及求法

线性代数第三章Ai=j由于 aiA, +ai2Aj +...+ain祥花光三堂Ainij1Ai=jAaiAi +a2iAi +...+ann0itja1所以(n)2n2AA*-4a441nln22nnnInnnAE

线性代数 第三章 11 12 1 11 21 1 * 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A             =                           = A A A        0 0 0 0 0 0 由于 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j  = + + + =     = + + + =    所以 = A E

线性代数 第三章祥花光三草同理可得：IA|0A=A|EA"A[AlAA* =A'A=|AE故只要A|±0，就有A(A)A=E

线性代数 第三章 同理可得: * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A A A A E A     = =         * * 故 AA A A A E = = 1 1 * * A A A A A E 0 ( ) ( ) A A 只要  = = ，就有

线性代数 第三章定理3.2.1（可逆的充分必要条件）第花老三n阶方阵A可逆A|0，而且A-1A证明：已证"←"(充分)"="(必要)若A可逆，则存在A-，使得AA-=E两边取行列式，得：IAA-=|AILA-EI=1IA± 0.所以

线性代数 第三章 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） . | | 1 | | 0 − 1    = A A n 阶 方 阵 A 可 逆 A ，而且 A 证明： ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E − − 若 可逆，则存在 ，使得 = 两边取行列式，得： 1 1 | | | || | | | 1 AA A A E − − = = = 所以 | A| 0

线性代数 第三章老三草V推论若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使AB=E 或BA=E则A可逆，且B为A的逆矩阵判断B是否为A的逆矩阵只需验证AB=E和BA=E中的一个即可B= EB =(A-A)B= A-(AB)= A-"E = A-1同理可证，若 BA=E，则 B=A-1

线性代数 第三章 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 A B = E 或 B A = E 则A可逆，且B为A的逆矩阵. 证明：设AB=E 则 | | | || | | | 1 AB A B E = = = 所以 | | 0, A  由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有： B EB = = 1 ( ) A A B − 1 A AB ( ) − = 1 A E− = 同理可证，若 BA = E，则 1 B A . − = 1 A − = B A AB E BA E = = 判断 是否为 的逆矩阵， 只需验证 和 中的一个即可

线性代数第三章2-1祥样花老三堂例1 判断A =31是否可逆？若可逆，求其逆矩阵0-20-1解：IA| 0.故A可逆，又Au=-2， A21=4,，A31=1,A12=-2， A22=-3， A32=-3241-A13=l， A23=-2， A33=-5,-9199-21于是21A-6-3-3-313135-91-92-5-219

线性代数 第三章 1 2 1 1 3 1 0 . 1 0 2 A   −   =     − −   例 判 断 是 否 可 逆 ？ 若 可 逆 ， 求 其 逆 矩 阵 解： 故 A 可逆，又 A11=-2， A21=4， A31=1， A12=-2， A22=-3， A32=-3 A13=1， A23=-2 , A33=-5 ， 于是 1 * 2 4 1 1 1 6 3 3 9 1 2 5 A A A −   −   = = − −       − − 2 4 1 9 9 9 2 1 1 3 3 3 1 2 5 9 9 9   −      = − −       − −     | A| 0