《高等数学》课程教学资源（课件讲稿，上册）第6章第3节（可降阶的高阶微分方程）

高等数学（上册）第六章常微分方程第三节可降阶的高阶微分方程人民邮电出版社RISS&HOTPRES

第三节 可降阶的高阶微分方程 高 等 数 学 （ 上 册 ） 第六章 常微分方程 1

本讲内容01y(n=f(x)型的微分方程02=f(x,）型的微分方程03=f(y,）型的微分方程

本讲内容 01 型的微分方程 02 型的微分方程 2 03 型的微分方程

V（）三f（X）型的微分方程COAOJ(n-1) = of(x)dx +C) ,两端积分得J-2) = 0f(x)dx +Cdx+C2上式两端再积分得依次继续进行下去，接连积分n次，就得到原来的n阶微分方程的含有r个独立任意常数的通解

一、 型的微分方程 3

、(m）=f（x）型的微分方程谷求微分方程y=sinx+x的通解例1

一、 型的微分方程 4 例 1

本讲内容m)=f(x）型的微分方程0102f（x，）型的微分方程03=f(y,）型的微分方程

本讲内容 01 型的微分方程 02 型的微分方程 6 03 型的微分方程 02

OOA二、y一f（x，）型的微分方程方程y=f(x,y9的特点是其方程右端不显含未知函数y令ye=p(x），则y=pdx)，代入方程得p(x)的一阶微分方程pdx)= f[x, p(x)]设其通解为p(x)=j (x,C)即得可分离变量的一阶微分方程dy=j (x,C)dx两边积分就能得到原方程的通解为y= (x,C)dx+C

7 二、 型的微分方程

谷例求微分方程y=二y+x的通解X8

8 例 2

谷尚题微分方程效=一的通解.9

9 问题

二、一f（x,）型的微分方程OOA求微分方程x2+1)y=2xy满足y(0)=1,d0)=3的特解例2xp2=2xp，即设ye=p(x), 则有(x2+1)p这是一阶线性齐次微分方程o解x+1dxdx根据公式得其通解为p=C(1+x)由条件当x=0时，p=3，故C=3，即p=ye=3(1+x2）两边积分得y=x3 +3x+C2由条件当x=0时，y=1，故C，=1综上可得，原方程满足初始条件的特解为y=x3+3x+1

10 例 3 解 二、 型的微分方程

本讲内容")=f(x）型的微分方程0102 =f(x,）型的微分方程03=（）型的微分方程11

本讲内容 01 型的微分方程 型的微分方程 11 03 型的微分方程 02