《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第一章 n阶行列式 1-1行列式的定义

教学课型：理论课实验课习题课口第1-1节实践课口技能课口其它主要教学内容（注明：*重点#难点）：行列式、余子式、代数余子式、全排列、逆序数等有关概念重点：三阶、n阶行列式的定义难点：n阶行列式的定义及等价定义教学目的要求：（1）掌握行列式、余子式、代数余子式等概念（2）掌握三阶、n阶行列式的定义（3）了解行列式的等价定义，教学方法和教学手段：课堂讲授，多媒体与板书相结合讨论、思考题、作业：参考资料：同济大学编《线性代数》高等教育出版社

第 1-1 节 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 行列式、余子式、代数余子式、全排列、逆序数等有关概念. 重点： 三阶、 n 阶行列式的定义. 难点： n 阶行列式的定义及等价定义. 教学目的要求： （1）掌握行列式、余子式、代数余子式等概念. （2）掌握三阶、 n 阶行列式的定义. （3）了解行列式的等价定义. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

第一章n阶行列式行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式来解一类特殊线性方程的克莱姆法则，s1n阶行列式的概念一、行列式的应用背景及二阶、三阶行列式行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组ax,+a2x=ba2ix+a22x2=b中学里用的求解方法是消元（代入消元、加减消元）法.当αuia22-ai221+0时，即a+a12,a21a22亦即两个方程所表示的两条直线不平行（不重合）时，上方程组有唯一解为b,a22 -bza12,X=a,a22-a2a21bzari-ba2,X2 =aa22-ai221我们把解中共同的分母，称为二阶行列式的值，我们称记号[a1 a12a21a22为二阶行列式，它表示数值aia22-ai2a21，即[aa12= (aiia22-a221.[a21 a22]行列式中横行的叫做行，纵排的叫做列，数a（i=1,2；j=1,2）称为行列式的元素，i为行标，j为列标我们可以用消元法来求解三元一次方程组

第一章 n 阶行列式 行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着 广泛的应用.本章主要介绍 n 阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式 来解一类特殊线性方程的克莱姆法则. §1 n 阶行列式的概念 一、行列式的应用背景及二阶、三阶行列式 行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组        21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 中学里用的求解方法是消元（代入消元、加减消元）法.当 a11a22  a12a21  0 时， 即 22 12 21 11 a a a a  ， 亦即两个方程所表示的两条直线不平行（不重合）时，上方程组有唯一解为 ， ， 11 22 12 21 2 11 1 21 2 11 22 12 21 1 22 2 12 1 a a a a b a b a x a a a a b a b a x       我们把解中共同的分母，称为二阶行列式的值.我们称记号 21 22 11 12 a a a a 为二阶行列式，它表示数值 a11a22  a12a21 ,即 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a   . 行列式中横行的叫做行，纵排的叫做列，数 aij （ i  1,2； j  1,2）称为行列 式的元素， i 为行标， j 为列标. 我们可以用消元法来求解三元一次方程组

a+a2x2+ai=bi,a2ij +a22x2 +a23 =b2,a3x,+a32x2+a3=bg,类似地，可以引进三阶行列式的概念：我们称记号a12a3a21a22a23a31a32a33为三阶行列式，它由三行三列共九个元素组成，表示下面数值：aiia2233+aia2a32+a12a23a31-aia22a31-aa23322a233即[aj2ai3a1a22033+a13a21a32+a31a2a23a21 a22a23(1-1)a132231-ia233233a212[a31 32a33]三阶行列式定义的记法a12法一：法二：a2203132331132a3183233注：法一：在式（1.1）的右边前面带“+”的3项，用线连接起来，法二：三条从左上到右下的斜线上3个元素乘积的项前带“+”；三条从右上到左下的斜线上3个元素乘积的项前带“_”，类似二阶、三阶行列式的定义，我们可以利用求解四元一次方程组来引进四阶行列式的概念.但随着方程组中未知量个数的增加，方程组的求解越来越麻烦，这样来引进阶数较高的行列式的概念是不可行的。下面来引进n阶行列式的定义.二、n阶行列式的定义由n2个数a(i,j=1,2,",n)排成n行n列1.n阶行列式的记号anai2... aina21a22..a2n(1-2).an2...aman

              , , , 31 1 32 2 33 3 21 1 22 2 23 2 11 1 12 2 13 1 a x a x a b a x a x a b a x a x a b 类似地，可以引进三阶行列式的概念. 我们称记号 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 为三阶行列式，它由三行三列共九个元素组成，表示下面数值： a1 1a2 2a3 3  a1 3a2 1a3 2  a1 2a2 3a3 1 a1 3a2 2a3 1 a1 1a2 3a3 2 a1 2a2 1a3 3 即  31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 3 3 2 1 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 2 1 3 2 3 1 1 2 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a      （1-1） 三阶行列式定义的记法 法一： 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 法二： 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a 注：法一：在式(1.1)的右边前面带“+”的 3 项，用线连接起来. 法二：三条从左上到右下的斜线上 3 个元素乘积的项前带“+”； 三条从右上到左下的斜线上 3 个元素乘积的项前带“-”. 类似二阶、三阶行列式的定义，我们可以利用求解四元一次方程组来引进四 阶行列式的概念.但随着方程组中未知量个数的增加，方程组的求解越来越麻烦， 这样来引进阶数较高的行列式的概念是不可行的. 下面来引进 n 阶行列式的定 义. 二、 n 阶行列式的定义 1. n 阶行列式的记号 由 2 n 个数 a (i, j 1,2, , n) ij   排成 n 行 n 列 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a        (1-2)

称为n阶行列式（简记为A(a)).行列式中横排称为行，纵排称为列，数a(i,j=1,2",n)称为行列式的元素，i称为行标，j称为列标.为了明确（1-2）式的含义，我们先来研究n阶行列式中元素α,的余子式、代数余子式，2.余子式与代数余子式定义1把n阶行列式（1-2）中元素a所在的第i行和第j列元素划去后留下的n-1阶行列式称为元素a,的余子式，记作M,，即ajiauj+1ain...aij-l.......ai-11..ai-1j-1ai-lj+1..ai-InM=ai+11ai+1j-1ai+1j+1a;+In.....an.amnanj-1α nj+1注意：元素a的余子式与a的取值无关.并称A, =(-1)*i M,(1-3)为元素a的代数余子式，例如，对于三阶行列式ai1ai2ai3a21a22a23a31a32a3第一行元素的余子式分别为an2ania23a23aa,M.iMi2M.3a33[a31a33la32a.a32

称为 n 阶行列式(简记为 ( )  aij ).行列式中横排称为行，纵排称为列，数 ij a (i, j 1,2,  ,n) 称为行列式的元素， i 称为行标， j 称为列标. 为了明确（1-2）式的含义，我们先来研究 n 阶行列式中元素 ij a 的余子式、 代数余子式. 2.余子式与代数余子式 定义 1 把 n 阶行列式（1-2）中元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后 留下的 n -1 阶行列式称为元素 aij 的余子式，记作 Mij ，即 n n j n j n n i i j i j i n i i j i j i n j j n ij a a a a a a a a a a a a a a a a M                                      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 注意：元素 aij 的余子式与 aij 的取值无关. 并称 ij i j Aij M   (1) （1-3） 为元素 ij a 的代数余子式. 例如，对于三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 第一行元素的余子式分别为 32 33 22 23 11 a a a a M  , 3 1 3 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 , a a a a M a a a a M  

第一行元素的代数余子式分别为a23a2212A =(-1)l+Az =(-1)A13 =(-1a33a31[a32a33a31a32利用以上结果可将（1-1）式化简为aiai2j3a22a23=arA+ai2A12+i3A13a21a31a32a33此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素αi1,αi2,α13分别与所对应的代数余子式A1,A12,A乘积的和.这与（1-1）式的定义是一致的，这种利用低阶行列式定义高一阶行列式的方法具有一般意义，按照这一思想我们给出n阶行列式（1-2）的归纳法定义3.行列式的归纳法定义定义2n阶行列式（1-2）是由n2个元素a,(i,j=1,2,,n)所决定的一个数.当n=2时，定义[auai2aia22-a1222[a21a22假设n-1阶行列式已经定义，则定义n阶行列式ailai2... ana21a22... a2n=aiA+ai2Ai2 +...+ainAin(1-4).Jan an2 .. amml其中A,(j=1,2,",n)是n阶行列式中元素ai,(j=1,2,n)的代数余子式思考：归纳法定义中是用第一行元素分别与其代数余子式乘积之和来定义的，是否可以用其它行的元素来定义？是否可以用某一列的元素来定义？4.用定义计算行列式例1、求行列式

第一行元素的代数余子式分别为 32 33 1 1 22 23 11 ( 1) a a a a A    , 3 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 1 2 2 1 2 3 1 2 ( 1) , ( 1) a a a a A a a a a A       . 利用以上结果可将（1-1）式化简为 . 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a A a A a A a a a a a a a a a    此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素 11 12, 13 a , a a 分别与所对应的 代数余子式 11 12 13 A , A , A 乘积的和.这与（1-1）式的定义是一致的，这种利用低阶 行列式定义高一阶行列式的方法具有一般意义.按照这一思想我们给出 n 阶行列 式（1-2）的归纳法定义. 3.行列式的归纳法定义 定义 2 n 阶行列式（1-2）是由 2 n 个元素 a (i, j 1,2, , n) ij   所决定的一个 数. 当 n =2 时，定义 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 a a - a a a a a a  假设 n -1 阶行列式已经定义，则定义 n 阶行列式 n n n n n n n n a A a A a A a a a a a a a a a 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1             （1-4） 其中 ( 1,2, , ) A1 j j   n 是 n 阶行列式中元素 ( 1,2, , ) a1 j j   n 的代数余子式. 思考：归纳法定义中是用第一行元素分别与其代数余子式乘积之和来定义 的，是否可以用其它行的元素来定义？是否可以用某一列的元素来定义？ 4. 用定义计算行列式 例 1 求行列式

23-12241的值解：2原式=2×(-1)1+1+3×(-1-1)x(-2412=2 (4-1) + (-2-4) +3 (-1-8) =-27.用行列式的定义计算例 2 0a0...0a21a22D=..anan2...amm这个行列式称为下三角行列式，它的特点是当i<j时，ay = 0(i, j = 1,2,.,n)解由行列式的定义，得D=auA., +0A2 +...+0An其中A是一个n-1阶下三角行列式，由定义0.0a330a43a44..A,=a22..an3annan4...依次类推，不难求出D=aja22"amn.即，下三角行列式等于主对角线上的诸元素的乘积.作为下三角行列式的特例，主对角行列式

4 1 2 1 2 1 2 1 3   的值. 解： 原式= 4 1 1 2 3 ( 1) 4 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2 ( 1) 1 1 1 2 1 3               =2（4-1）+（-2-4）+3（-1-8）=-27. 例 2 用行列式的定义计算 n n n n a a a a a a D         1 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 这个行列式称为下三角行列式，它的特点是当 i  j 时, a 0(i, j 1,2, , n) ij    . 解 由行列式的定义，得 D a11A11 0A12  0A1n     其中 A11 是一个 n -1 阶下三角行列式，由定义 n n n n a a a a a a A a         3 4 4 3 4 4 3 3 1 1 2 2 0 0 0 依次类推，不难求出 D a a ann   11 22 . 即,下三角行列式等于主对角线上的诸元素的乘积. 作为下三角行列式的特例，主对角行列式

120020...02元000元n例3证明1000..ain00..a2n-1a2n(-1)(n-1)/2 aj,2(n-1)* .n.D=..........annJananr-Ian2证由行列式的定义00a2n-10...a3n-la3in-lD =(-1)+" ainanl...ann-2ann-10...0a3n-20.3a4n-3a4n-2=(-1)**(1)+-) ai,a2m-......anl...an-2amm-2-..=(-1)(-1)+-) ..(-1)2 a,a2n-·.a.=(-1)"(-1)"-2 ...(-1) a.,a2n--...aml=(-1)(-1)/2 aw2m--* am特别地，次对角行列式0...02.00..=(-1)(n-1)2 222 .. ,例4设

n n               1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 . 例 3 证明 ( 1) . 0 0 0 0 0 1 2( 1) 1 ( 1)/ 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a D                 证 由行列式的定义 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1 1 0 0 0 ( 1)                n n n n n n n n n n a a a a a a D a 1 2 2 4 3 4 2 3 2 1 2 1 1 1 ( 1) 0 0 0 ( 1) ( 1)                    n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a 1 2 1 1 1 1 ( 1) 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n        a a  a     1 2 1 1 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n      a a  a   1 2 1 1 ( 1)/ 2 ( 1) n n n n n   a a   a  特别地，次对角行列式 n n n n                    1 2 2 ( 1) / 2 1 ( 1) 0 0 0 0 例 4 设

00aiaik00anaklD=bunbriCikC11...b.b.....CnlCnkbab,ain.D =D, b..b..aki..au则 D=D·D2.注意：行列式D的特点，右上角那块元素必须全为零.否则，不能利用此结论计算。行列式的定义表行明，n阶列式的定义是通过n个n-1阶行列式的代数和来定义的，而每一个n-1阶行列式又可用n-1个n-2阶行列式的代数和来表示..，如此进行下去，最后可将n阶行列式表示成n！项的代数和.为给出行列式这一形式的完全表达式，先介绍全排列与逆序数的概念，全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做n个元素的全排列.标准次序：在n个自然数1,2",n组成的全排列中，规定各元素间有一个标准次序，按从小到大排列的次序为标准次序，逆序：于是，在任一排列P,P2·P，中，当某两个数的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。逆序数：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，记作T(piP2pn).即T(piP2..pn)=(p2前面比P2大的数的个数)+（P3前面比P3大的数的个数）+

n n k n n n k n k kk k c c b b c c b b a a a a D                      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 n n n n k kk n b b b b D a a a a D             1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 , 则 D D1 D2   . 注意：行列式 D 的特点，右上角那块元素必须全为零.否则，不能利用此结 论计算。 行列式的定义表行明， n 阶列式的定义是通过 n 个 n -1 阶行列式的代数和 来定义的，而每一个 n -1 阶行列式又可用 n -1 个 n -2 阶行列式的代数和来表 示.，如此进行下去，最后可将 n 阶行列式表示成 n ！项的代数和. 为给出行列式这一形式的完全表达式，先介绍全排列与逆序数的概念. 全排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做 n 个元素的全排列. 标准次序：在 n 个自然数 1,2,  , n 组成的全排列中，规定各元素间有一个 标准次序,按从小到大排列的次序为标准次序. 逆序:于是，在任一排列 p p pn  1 2 中，当某两个数的先后次序与标准次序 不同时，就说有一个逆序. 逆 序数 ：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，记作 ( ) p1 p2 pn   .即 ( . ) p1 p2 pn  =( p2 前面比 p2 大的数的个数) +（ 3 p 前面比 3 p 大的数的个数） +

+（p，前面比P，大的数的个数），奇（偶）排列：如果t(piP.-Pn）是偶数，称排列piP..Pn为偶数列；如果t(pP2..p,）是奇数，称排列PiP...Pn为奇数列举例分析一下三阶行列式的定义，得到：三阶行列式可以表示为6（=3！）项的代数和，每一项前所带有的符号，当元素之间按照行标排列时，列标排列是偶排列时，其前面带“+”号；列标排列是奇排列时，其前面带“_”号。由此推出n阶行列式的另一种定义形式。定理1n阶行列式可表示成如下形式arai2.. aina2a2..a2nD=Z(-1)(p apap..am.PiP2-.-Pnanla.2...ammZ表示对n个自然数其中PiP...P,为自然数1,2,,n的一个排列，PiP.-.Pn1,2,…,n所有排列求和.证明用数学归纳法当n=1时，定理显然成立.假定定理对n-1阶行列式成立，对于n阶行列式，由行列式定义D=Zay,4,=2(-1)"a,M,j=l j=l由于M，是n-1阶的行列式，根据归纳假设，得My, = Z(-1)(p) apa2am..PiP2---Pn其中pP2pn是1，2，..，j-1，j+1,，n的一个排列于是D=Z(-1)* ay,M, = Z(-1)(ppp), a2p*.apni=lP2--.P

+（ n p 前面比 n p 大的数的个数）. 奇(偶)排列：如果 ( . ) p1 p2 pn  是偶数，称排列 p p pn . 1 2 为偶数列； 如果 ( . ) p1 p2 pn  是奇数，称排列 p p pn . 1 2 为奇数列. 举例分析一下三阶行列式的定义，得到：三阶行列式可以表示为 6（=3！） 项的代数和，每一项前所带有的符号，当元素之间按照行标排列时，列标排列是 偶排列时，其前面带“+”号；列标排列是奇排列时，其前面带“-”号。由此推 出 n 阶行列式的另一种定义形式。 定理 1 n 阶行列式可表示成如下形式 n n n n n n a a a a a a a a a D . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1  n n n p n p p p p p p p p ( 1) a a .a 2 1 2 1 1 2 2 . 1 ( . )     , 其中 p p pn . 1 2 为自然数 1, 2,  ,n 的一个排列 ，  p p pn . 1 2 表示对 n 个自然数 1, 2,  ,n 所有排列求和. 证明 用数学归纳法 当 n =1 时，定理显然成立. 假 定 定理 对 n -1 阶 行列 式 成立 ,对 于 n 阶 行 列式 ，由 行 列式 定 义    n j j A j D a 1 1 1    n j j j j a M 1 1 1 1 ( 1) 由于 M1 j 是 n -1 阶的行列式，根据归纳假设，得 M1 j  n n n p n p p p p p p p p ( 1) a a .a 2 1 2 1 1 2 2 . 1 ( . )    . 其中 p p pn . 1 2 是 1，2，.， j -1, j +1,., n 的一个排列 于是      n j j j j D a M 1 1 1 1 ( 1) p npn p p p p p a a n n ( 1) . 2 2 1 2 2 . ( . )   

= Z(-1)(-1)(p-) ay, 2p.apnjp2.-.Pn= Z(-1)(-.)+) y, 2p..apnjP.--Pn又因T(piP2...P,)=T(p2P..-Pn)+Pi-1,而(1)(P-.)(++) = (1)(P-P.)(j-I)记p,为j，得D= Z(-1)(Pp)apa2p2..amp.P2--Pn定理1说明：n阶行列式是①n！项的代数和；②每一项是位于不同行、不同列n的个元素的乘积的代数和；③当行标按从小到大的标准次序排列时，若列标排列为偶排列，该项前面取正号，若列标排列为奇排列，该项前面取负号。思考：在定理1说明③中，当列标按从小到大的标准次序排列时，会怎么样呢?由定理可知，三阶行列式aia12a13aa22a33+a13a2a32+a3ia12a23a21a22a23-a132231-aa23a32-a33a2a12a31a32a33= Z(-1)(PP)an^2p:a3pPP2P3= Z(-1)(949) ag14g,2g3q19293定理中虽然给出了n阶行列式的完全表达式，但在具体应用定理解决问题是比较困难.本节最后请同学们思考：在定理1说明③中，行列式的每一项中，当行标或列标按从小到大的标准次序排列时，其前面的符号与列标或行标排列的奇偶性有

p npn jp p j j p p a a a n n ( 1) ( 1) . 2 2 . 1 1 ( . ) 2 2       p npn jp p j p p j a a a n n ( 1) . 2 2 . 1 ( . ) (1 ) 2 2       又因 ( . ) p1 p2 pn  = ( . ) p2 p3 pn  + 1 p -1， 而   ( . )(1 ) 2 ( 1) p p j n  ( . ) ( 1) 2 ( 1)    p p j n  记 1 p 为 j ，得 n n n p n p p p p p p p D ( 1) a a2 2 .a . 1 ( . ) 2 1 1 2     . 定理 1 说明： n 阶行列式是① n !项的代数和；②每一项是位于不同行、不 同列 n 的个元素的乘积的代数和；③当行标按从小到大的标准次序排列时，若列 标排列为偶排列，该项前面取正号，若列标排列为奇排列，该项前面取负号。 思考：在定理 1 说明③中，当列标按从小到大的标准次序排列时，会怎么样 呢？ 由定理可知，三阶行列式  31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 3 3 2 1 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 2 1 3 2 3 1 1 2 2 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a       2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 ( ) ( 1) p p p p p p p p p   a a a   1 2 3 ( ) 2 3 1 2 3 1 1 2 3 ( 1) q q q q q q q q q   a a a  定理中虽然给出了 n 阶行列式的完全表达式，但在具体应用定理解决问题是比较 困难. 本节最后请同学们思考：在定理 1 说明③中，行列式的每一项中，当行标或 列标按从小到大的标准次序排列时，其前面的符号与列标或行标排列的奇偶性有