《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第六章 线性空间与线性变换 6-1线性空间的概念

第六章线性空间与线性变换线性空间是线性代数最基本的概念之一，它也是我们学过的向量空间概念的抽象与推广，而线性变换则是反映线性空间中向量之间最基本的线性联系.这一章中我们将简要地介绍这方面的有关概念与运算86.1线性空间的概念一、线性空间的概念定义1设V是一个非空集合，α,β,是V中的元素，R为实数域，在V中定义两种运算：一种为加法运算，记作α+β；另一种为数乘运算，记作Λα.如果集合V对这两种运算具有封闭性，即Vα，βeV，AeR，则α+βeV,AαeV，且满足以下八条运算规律：(1)α+β=β+α;(2) (α+β)+=α+(β+r);(3)在V中存在零向量0，对任意αEV，都有α+0=α(4)对任意αeV，都有α的负向量βeV，使得α+β=0；(5) lα=α ;(6) (u)=()α ;(7)(+μ)α=α+α;(8) (α+β)= α+β ,则称V为（实数域R上的）线性空间或向量空间，V中的元素不论其本来的性质如何，统称为向量，显然，n维向量空间R"对于向量的加法与数乘构成一个线性空间.例1所有mxn矩阵的全体，按照矩阵的加法以及数与矩阵的数乘运算构成一个线性空间，用Rmn表示.例2次数不超过n的多项式的全体（包括零多项式）构成的集合，记作p[x]，则p[x],对于多项式的加法及与数乘与多项式的乘法运算构成一个线性空

第六章 线性空间与线性变换 线性空间是线性代数最基本的概念之一，它也是我们学过的向量空间概念的 抽象与推广，而线性变换则是反映线性空间中向量之间最基本的线性联系.这一 章中我们将简要地介绍这方面的有关概念与运算. §6.1 线性空间的概念 一、线性空间的概念 定义 1 设 V 是一个非空集合， ,, 是 V 中的元素, R 为实数域，在 V 中定 义两种运算：一种为加法运算，记作    ；另一种为数乘运算，记作  .如果 集合 V 对这两种运算具有封闭性,即 ， V，R ，则    V， V ，且 满足以下八条运算规律： (1)       ； (2) (  )   (  ) ； (3)在 V 中存在零向量 0，对任意  V ，都有  0  ； (4)对任意  V ，都有  的负向量  V ，使得     0 ； (5) 1  ； (6) ()  () ； (7) (  )     ； (8) (  )    . 则称 V 为（实数域 R 上的）线性空间或向量空间，V 中的元素不论其本来的性质 如何，统称为向量. 显然， n 维向量空间 n R 对于向量的加法与数乘构成一个线性空间. 例 1 所有 mn 矩阵的全体，按照矩阵的加法以及数与矩阵的数乘运算构成 一个线性空间，用 mn R 表示. 例 2 次数不超过 n 的多项式的全体(包括零多项式)构成的集合，记作 n p[x] ，则 n p[x] 对于多项式的加法及与数乘与多项式的乘法运算构成一个线性空

间.例3正实数的全体构成的集合记作R.在R+中定义两种运算：加法运算④：a④b=ab，Va,beR*；数乘运算：?a=aVaeR,VaeRt.则R+对于上述两种运算构成线性空间证先验证R*对两种运算封闭Va,beR,有a@b=abeR；VaeR,VaeR,有@a=aeRt再验证这两种运算满足八条运算规律(1)，(2)显然成立.(3）R+中的元素1满足：对VaeR*，有l④a=la=a，因此1是R+中的“零元素”。(4）对VaeR+，a-eRt,有a?a-l=aa=1（零元素），a-是a的负元素.(5)对VaeR,1@a=a=a.(6)对,μR,@(u@a)=?a"=(a")=a(u)@a=a,即a@(u@a)=()@a.(7)-(8)同样可以验证.因此，R*对运算“④，”构成线性空间例4n维向量的集合S" =((x,x2,.,x)/x,x2,-,xeR)对于通常的向量加法及如下定义的数乘a(x,X2,",x,)=(1,,.,), VaeR,不构成线性空间.证明可以验证S"对运算封闭，但对任意的α=(xi,x2,"",x)eS"，有lα=1(x,2,,x)=(1,1,,1)α，不满足线性空间定义中的运算规律(5)，所以S"不是线性空间

间. 例 3 正实数的全体构成的集合记作  R .在  R 中定义两种运算： 加法运算  ： ab  ab ,  a,bR ; 数乘运算  ：   a  a ,   R,aR . 则  R 对于上述两种运算构成线性空间. 证 先验证  R 对两种运算封闭.  a,bR ,有  a b  ab R ；   R,aR ,有  a  a  R   . 再验证这两种运算满足八条运算规律. (1),(2)显然成立. (3)  R 中的元素 1 满足：对  aR ，有 1a 1a  a ,因此 1 是  R 中的“零 元素”. (4) 对  aR ,   a  R 1 ,有 1 1 1      a a aa (零元素), 1 a 是 a 的负元素. (5) 对  aR , a  a  a 1 1 . (6)对 ,  R,      ( a)   a  (a )  a ,  ()a  a ,即  ( a)  ()a . (7)-(8)同样可以验证.因此，  R 对运算“  , ”构成线性空间. 例 4 n 维向量的集合 {( , , , )| , , , } S x1 x2 xn x1 x2 xn R n     对于通常的向量加法及如下定义的数乘 ( , , , ) (1,1, ,1)  x1 x2  xn   ,  R， 不构成线性空间. 证明 可以验证 n S 对运算封闭，但对任意的 n   (x1 , x2 ,  , xn )S ，有 1 1(x1 , x2 ,  , xn )  (1,1,  ,1)   ，不满足线性空间定义中的运算规律(5)，所以 n S 不是线性空间

由例4看出，S"作为集合与R"相同，但由于在其中所定义的运算不同，但R是线性空间，而S"不是线性空间，所以规定的运算是线性空间的本质，而其中的元素是什么并不重要二、线性空间的性质性质1线性空间中的零向量是唯一的性质2线性空间中任一向量的负向量是唯一的性质3对线性空间V中任意向量α及任意实数入，有(1)0α=0;(2)(-1)α=-α;(3)0=0;(4)若α=0,则=0或α=0三、子空间的概念定义2设V是一个线性空间，U是V的一个非空子集.如果U对于V中定义的加法与数乘运算也构成一个线性空间，则称U是V的一个子空间由线性空间V中的零向量构成的集合是V的一个子空间，称为零空间：V本身也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间若U是V的子空间，则U的零向量也是V的零向量，U中任一向量α的负向量也是α在V中的负向量.于是有下面定理定理1线性空间V的非空子集U构成V的子空间的充分必要条件为(1)若α,βeU,则α+βeU;(2) αeU, eR,则EU,即U对加法，数乘运算封闭例5设Rx"为n阶实矩阵全体对矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，而U=A|AeRA=A，则U是R的子空间证显然U是R的非空子集，下面验证U对矩阵的加法与数乘运算封闭，VA,BeU,则A'=A,B'=B,于是(A+B)=A'+B'=A+B,所以 A+BeUVAeU,AR,则(A)=A'=A因此，AeU即U对矩阵的加法与数乘运算封闭，所以U是Rx的子空间

由例 4 看出， n S 作为集合与 n R 相同，但由于在其中所定义的运算不同，但 n R 是线性空间，而 n S 不是线性空间，所以规定的运算是线性空间的本质，而其中 的元素是什么并不重要. 二、线性空间的性质 性质 1 线性空间中的零向量是唯一的. 性质 2 线性空间中任一向量的负向量是唯一的. 性质 3 对线性空间 V 中任意向量  及任意实数  ,有 (1) 0  0 ; (2) (1)   ; (3) 0  0 ; (4)若   0 ,则   0 或   0. 三、子空间的概念 定义 2 设 V 是一个线性空间， U 是 V 的一个非空子集.如果 U 对于 V 中定 义的加法与数乘运算也构成一个线性空间,则称 U 是 V 的一个子空间. 由线性空间 V 中的零向量构成的集合是 V 的一个子空间,称为零空间; V 本 身也是 V 的子空间.这两个子空间称为 V 的平凡子空间. 若 U 是 V 的子空间,则 U 的零向量也是 V 的零向量， U 中任一向量  的负向 量也是  在 V 中的负向量.于是有下面定理. 定理 1 线性空间 V 的非空子集 U 构成 V 的子空间的充分必要条件为 (1)若 , U ,则    U ； (2)  U， R,则  U , 即 U 对加法，数乘运算封闭. 例 5 设 n n R  为 n 阶实矩阵全体对矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间, 而 U A A R A A n n      | , ，则 U 是 n n R  的子空间. 证 显然 U 是 n n R  的非空子集.下面验证 U 对矩阵的加法与数乘运算封闭. A,BU, 则 A  A, B  B,于是 (A B)  A  B  A B,所以 A BU. AU,  R, 则 (A)  A  A ，因此, AU ,即 U 对矩阵的加法与数乘 运算封闭,所以 U 是 n n R  的子空间