《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第五章 相似矩阵与二次型 5-2方阵的特征值与特征向量

S5.2方阵的特征值与特征向量方阵的特征值，最早是由Laplace在19世纪为研究天体力学、地球力学而引进的一个物理概念.这一概念不仅在理论上极为重要，在科学技术领域里，它的应用也很广泛.事实上，在讨论振动问题（如机械振动、弹性体振动、电磁波震荡）、天体运行问题及现代控制理论中，都涉及到特征值问题一、矩阵的特征值定义1设A是n阶方阵，如果存在数和n维非零向量，使得Ax=2x(5-1)成立，则称数几是方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于（或属于特征值入的特征向量，下面给出特征值与特征向量的求法.将（5-1）改写成(5-2)(A-NE)x=0这是含有n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式[A- E| = 0即au-元ai2..aina22-元...a21a2n=0............amn-2anlan2上式是以入为未知量的一元n次方程，称之为方阵A的特征方程.左端是入的n次多项式，称之为方阵A的特征多项式，记作f(2).即[an-n..ai2aina22-元...a2na21f(2) =[A-E|=..........an...amn-an2方阵A的特征值就是其特征多项式的根，由方程的理论容易知道，特征方程在复数范围内恒有解，解的个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶方阵A

§5.2 方阵的特征值与特征向量 方阵的特征值，最早是由 Laplace 在 19 世纪为研究天体力学、地球力学而引 进的一个物理概念.这一概念不仅在理论上极为重要，在科学技术领域里，它的 应用也很广泛.事实上，在讨论振动问题（如机械振动、弹性体振动、电磁波震 荡）、天体运行问题及现代控制理论中，都涉及到特征值问题. 一、矩阵的特征值 定义 1 设 A 是 n 阶方阵，如果存在数  和 n 维非零向量,使得 Ax  x （5-1） 成立，则称数  是方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于(或属于)特征值  的特征向量. 下面给出特征值与特征向量的求法. 将（5-1）改写成 (A E)x  0 (5-2) 这是含有 n 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数矩阵的行列 式 A E  0 即              n n n n n n a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =0 上式是以  为未知量的一元 n 次方程，称之为方阵 A 的特征方程.左端是  的 n 次 多项式，称之为方阵 A 的特征多项式，记作 () A f .即 () A f  A E               n n n n n n a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 . 方阵 A 的特征值就是其特征多项式的根，由方程的理论容易知道，特征方程在复 数范围内恒有解，解的个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n 阶方阵 A

在复数范围内有n个特征值（重根按重数计算）.此外，A的属于特征值入。的特征向量就是齐次线性方程组（A-2E)x=0的所有非零解，它们有无限多个。由此可知，矩阵A的每个特征向量只能属于一个特征值，而每个特征值却可以对应无穷多个特征向量.矩阵A的属于特征值的所有特征向量再加上零向量构成一个向量空间，此向量空间称为矩阵A的属于特征值2。的特征子空间求n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：第一步：计算矩阵A的特征多项式A-aE：第二步：解方程A-E=0，求出A的全部不同的特征值,，,；第三步：对A的每个特征值^,(i=1,2,",r)，求出相应齐次线性方程组(A-2,E)x=0的一个基础解系51,52，,5i，于是矩阵A的属于入,的全部特征向量可以表示为k5i+k252+.+k,51,其中k,kz,",k,是不全为零的常数例1求方阵[ ]的特征值和特征向量解A的特征多项式为()=14-1=-1 3-)- (4-2)(2-±),1-13-a所以A的特征值为元,=2，2=4.将元=2代入方程（A-E)x=0，得3-2 -11×=|%-1 3-2求得一个基础解系

在复数范围内有 n 个特征值（重根按重数计算）.此外, A 的属于特征值 0 的特征 向量就是齐次线性方程组 (A 0E)x  0 的所有非零解，它们有无限多个. 由此可知，矩阵 A 的每个特征向量只能属于一个特征值，而每个特征值却可 以对应无穷多个特征向量.矩阵 A 的属于特征值 0 的所有特征向量再加上零向 量构成一个向量空间，此向量空间称为矩阵 A 的属于特征值 0 的特征子空间. 求 n 阶矩阵 A 的特征值与特征向量的步骤为： 第一步：计算矩阵 A 的特征多项式 A E ； 第二步：解方程 A E  0 ，求出 A 的全部不同的特征值   r , , , 1 2  ； 第三步：对 A 的每个特征值 (i 1,2, ,r) i   ，求出相应齐次线性方程组 (A iE)x  0 的一个基础解系    l , , , 1 2  ，于是矩阵 A 的属于 i 的全部特征向量可以表示为 l l k1 1  k2 2  k  , 其中 l k , k , , k 1 2  是不全为零的常数. 例 1 求方阵 A =         1 3 3 1 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式为 f ()＝| A - E |＝       1 3 3 1 ＝（４- ）（２－  ）， 所以 A 的特征值为 1 ＝２， 2 ＝４. 将 1 ＝２代入方程 (A E)x  0 ，得           1 3 2 3 2 1       2 1 x x ＝       0 0 求得一个基础解系

p它就是对应于,=2的一个特征向量，而kp(k+0)是对应于2,=2的全部特征向量.将=4代入方程（A-E）x=0，得[-1 ]18求得一个基础解系它就是对应于,=4的一个特征向量，而kp,(k±0)是对应于2,=2的全部特征向量.例2求方阵[-110-4 304:021的特征值和特征向量解A的特征多项式为-1-1-4113-元0f()=| A-E |=(2-元) (1-2)2.002-元所以A的特征值为=2，==1，将=2代入方程（A-E）x=0，得-3104.00.1解之得一个基础解系

1 p ＝       1 1 . 它就是对应于 1 ＝２的一个特征向量，而 ( 0) kp1 k  是对应于 1 ＝２的全部 特征向量. 将 2 ＝４代入方程（ A -E ） x =0，得           1 3 4 3 4 1       2 1 x x ＝       0 0 求得一个基础解系 2 p ＝       1 1 . 它就是对应于 2 ＝４的一个特征向量，而 ( 0) kp2 k  是对应于 1 ＝２的全部特征 向量. 例２ 求方阵 A =             1 0 2 4 3 0 1 1 0 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式为 f ()＝| A- E |＝         0 0 2 1 3 0 1 4 1 ＝（ 2   ） 2 (1 ) . 所以 A 的特征值为 1 ＝２， 2＝3 ＝１. 将 1 ＝２代入方程（ A -E ） x =0，得             1 0 0 4 1 0 3 1 0           3 2 1 x x x ＝           0 0 0 . 解之得一个基础解系

[o]0p, =[1它就是对应于,=2的一个特征向量，而kp(k≠0)是对应于,=2的全部特征向量.将入=1代入方程（A-E）X=0，得-21024.01010求得一个基础解系为P2它就是对应于,==1的一个特征向量，而kp(k0)是对应于,==1的全部特征向量，例3求方阵[-211]020-4 1 3]的特征值和特征向量解A的特征多项式为-2-元0-412-元1f()= A-E |=(2+1)(2-2)2103-2所以A的特征值为2=-1，2，=元,=2将,=-1代入方程（A-E)x=0，得-L3 00X14解之得一个基础解系为

1 p ＝           1 0 0 . 它就是对应于 1 ＝２的一个特征向量，而 ( 0) kp1 k  是对应于 1 ＝２的全部特征 向量. 将 2＝3 ＝１代入方程（ A -E ） x =0，得             1 0 1 4 2 0 2 1 0           3 2 1 x x x ＝           0 0 0 . 求得一个基础解系为 2 p ＝           1 2 1 . 它就是对应于 2＝3 ＝１的一个特征向量，而 ( 0) kp2 k  是对应于 2 ＝3 ＝１ 的全部特征向量. 例３ 求方阵 A =             4 1 3 0 2 0 2 1 1 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式为 f ()＝| A- E |＝         1 0 3 1 2 1 2 0 4 ＝－（  ＋１） 2 (  2) . 所以 A 的特征值为 1＝-１， 2＝3 ＝２. 将 1＝-１代入方程 (A E)x  0 ，得             4 1 4 0 3 0 1 1 1           3 2 1 x x x =           0 0 0 . 解之得一个基础解系为

1IP,=]它就是对应于,=-1的一个特征向量，而kp（k≠0)是对应于=-1的全部特征向量.将=入=2代入方程（A-ΛE)x=0，得-4 11000-4 1 O解之得一个基础解系为[10OP2 =P,=1[4]-1P2、ps就是对应于==2的特征向量，而kPz+P（kz，k,不同时为零）是对应于2,=,=2的全部特征向量例4假定A是幂等方阵，即A=A.试证A的特征值只有1或0.证设入是A的特征值，p是A的属于元的特征向量，则Ap=ap,于是A p= A(AP)= A(p) = a(Ap)= p,而=A，因此，p=p，即（2-)=0，又0，故-=0，所以=1或几=0.二、特征值与特征向量的性质性质1（特征值与A的元素的关系）设n阶方阵A=(a,）的特征值为，，·元，由多项式的根与系数之间的关系，有(1)2,+M+..+,=a+a22+..+am;

1 p ＝           1 0 1 . 它就是对应于 1＝-１的一个特征向量，而 1 kp ( k ≠0)是对应于 1＝-1 的全部特 征向量. 将 2＝3 ＝２代入方程 (A E)x  0 ，得             4 1 1 0 0 0 4 1 1           3 2 1 x x x =           0 0 0 . 解之得一个基础解系为 2 p ＝           1 1 0 ， 3 p ＝           4 0 1 . 2 p 、 3 p 就是对应于 2＝3 ＝２的特征向量，而 2 k 2 p + 3 k 3 p （ 2 k ， 3 k 不同时为 零）是对应于 2＝3 ＝２的全部特征向量. 例 4 假定 A 是幂等方阵，即 2 A = A .试证 A 的特征值只有 1 或 0. 证 设  是 A 的特征值， p 是 A 的属于  的特征向量，则 A p = p ， 于是 A p A AP A p Ap p 2 2  ( )  ( )  ( )   , 而 2 A = A ，因此，  p  p 2 ，即 ( ) 0 2    p  ，又 p  0，故 2  - =0，所以  =1 或  =0. 二、特征值与特征向量的性质 性质 1(特征值与 A 的元素的关系) 设 n 阶方阵 ( ) A  aij 的特征值为 1 ， 2 ,···n ，由多项式的根与系数之间的关系，有 (1) 1  2  n  a11  a22  an n ；

(2)..=A通常称a,+a+..+a为A的迹，记作tr(A)，即tr(A)=a.+ai2 +...+an复习：一元n次方程根与系数的关系中学里，学习过一元二次ax2+bx+c=0根与系数的关系（韦达定理）：设此方程的两个根为x,x2，则有bX, +x,acXiX2 =a对于一元n次方程ax"+a,x"-+.+an-x+a,=0，设它的n个根为xi,x2，x，则其根与系数有下面关系：X +X ++X, =--aoX+, +Xx, +..+Xx +.+.--X, =(-1)22aoXx2*-X, =(-1)"anao证（1）根据行列式的定义有[A- E|=(-1)"[2" -(a +a22 +...+an)α"-I +...+(-1)"|A由一元n次方程根与系数的关系可得,+,+...+x,=a+a22+...+amnXiX2 , = 4注：由性质1知，方阵A可逆的充要条件为其特征值不为零总结：n阶矩阵A可逆的充要条件：①A+0，即A是非奇异矩阵：②A的秩为n，即A是满秩矩阵：③A的行（列）向量组线性无关④A的特征值不为零，性质2n阶矩阵A与它的转置矩阵A有相同的特征多项式，因此有相同的特征秩

(2) 12 n  A . 通常称 a11  a22  ann 为 A 的迹,记作 tr(A) ,即 A a a ann tr( )  11  12  . 复习：一元 n 次方程根与系数的关系 中学里，学习过一元二次 0 2 ax  bx  c  根与系数的关系（韦达定理）：设此 方程的两个根为 1 2 x , x ,则有          . , 1 2 1 2 a c x x a b x x 对于一元 n 次方程 1 0 1 0  1       n n n n a x a x  a x a ,设它的 n 个根为 n x , x , , x 1 2  , 则其根与系数有下面关系：                           ( 1) . ( 1) , , 0 1 2 0 2 2 1 2 1 3 1 1 0 1 1 2 a a x x x a a x x x x x x x x a a x x x n n n n n n n            证 (1) 根据行列式的定义有 ( 1) [ ( ) ( 1) ] 1 A E a1 1 a2 2 a A n n n n n n                 由一元 n 次方程根与系数的关系可得            1 2 1 2 1 1 2 2 x x x A x x x a a a n n n n    . 注：由性质 1 知，方阵 A 可逆的充要条件为其特征值不为零. 总结： n 阶矩阵 A 可逆的充要条件：① A  0 ，即 A 是非奇异矩阵；② A 的 秩为 n，即 A 是满秩矩阵；③ A 的行（列）向量组线性无关；④ A 的特征值不为 零，. 性质 2 n 阶矩阵 A 与它的转置矩阵 A 有相同的特征多项式,因此有相同的 特征秩

证因为A-E=（A-E)=A'-E，结论成立性质3设，22.…，元m是方阵A的m个互不相同的特征值，Pi，P2.…，Pm是分别属于它们的特征向量，则pi，P2，…·，Pm线性无关.证用数学归纳法当m=1时，定理显然正确.假设m-1时定理成立，设有数kj，kz，.，km，使(5-3)k,p,+kzP,+...+kmpm=0,上式两边左乘A，并利用Ap,=入,p（i=1,2，…，m)，得(5-4)k,Pi+k,P,+..+kmampm=0用（5-3）式乘元m，再减去（5-4）式得k,（am-）P)+kam-2,)P,+...+km-I（am-am-1)pm-I=0.由归纳假设应有k,(am-a,)=0(i=1,2,., m-1).而（入m-入,）0，则k,=0（i=1,2，,m-1).将它们代入（5-3）式，即得kmPm=0.但pm+0，所以km=0，于是p，P2，·，Pm线性无关性质4设，是矩阵A的两个不同的特征值，Pi，P2，，P；i，92，"，9.分别为A的属于，2的线性无关的特征向量，则pi，P2，，P,；9，92，·…，q线性无关证设有k p,+k, P,+... +k, p,+l, qi+l2 q2+ ...+l, q,=0若记α=k,P，α2=1.g，则上式即为i=li=l(5-5)α,+α,=0.如果α,0，则必有α0，而α，α是分别属于，的特征向量.于是

证 因为 A E  (A E)  A  E ，结论成立. 性质 3 设 1，2 ,.， m 是方阵 A 的 m 个互不相同的特征值， 1 p , 2 p ,.，pm 是分别属于它们的特征向量，则 1 p , 2 p ,···, pm 线性无关. 证 用数学归纳法. 当 m 1 时，定理显然正确. 假设 m 1 时定理成立，设有数 1 k ， 2 k ，··· ， m k ，使 1 k 1 p + 2 k 2 p +···+ m k pm =0， （5-3） 上式两边左乘 A,并利用 A pi = i pi ( i =1,2,···,m),得 1 k 1 1 p + 2 k 2 2 p +···+ m k  m pm =0. （5-4） 用（5-3）式乘  m ，再减去（5-4）式得 1 k （  m - 1 ） 1 p + 2 k （  m -2 ） 2 p +···+ m1 k （  m - m1 ） pm1 =0. 由归纳假设应有 i k (  m - i )=0 ( i =1，2，···，m -1). 而（  m - i ）  0，则 i k =0（ i =1，2，···,m-1）.将它们代入（5-3）式，即得 m k pm =0. 但 pm  0，所以 m k =0，于是 1 p ， 2 p ，··· ， pm 线性无关. 性质 4 设 1，2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 1 p ， 2 p ，··· ， s p ； 1 q ， 2 q ，···， t q 分别为 A 的属于 1，2 的线性无关的特征向量，则 1 p ， 2 p ，···， s p ； 1 q ， 2 q ，···， t q 线性无关. 证 设有 1 k 1 p + 2 k 2 p +···+ s k s p + 1 l 1 q + 2 l 2 q +···+ t l t q =0. 若记 1 = i s i ki p 1 ， 2 = i t i l iq 1 ，则上式即为 1 +  2 =0. （5-5） 如果 1  0，则必有  2  0，而 1， 2 是分别属于 1，2 的 特征向量.于是

由（5-5）式可知，对于，2,有两个特征向量线性相关，这与定理1矛盾，因此，只有α,=0，α=0，即kip,+kzp2+ ... +k,p,=0, 1 q +l2 q2+ ... +l, q,=0,而pi，P2，·…，,线性无关，q1，q2，…．，q,线性无关，所以ki=k2=..-=k,=0, ,=l,=..。=1,=0.这说明pi，P2，…．，P，q1，q2，…．，q,线性无关.例5设入是n阶方阵A的特征值，下面结论成立（1）入是A"的特征值；一是A-"的特征值；(2）若A可逆，入是A的伴随矩阵4的特征值；(3）若A可逆，元(4）元-k是A-kE的特征值；(5）ka是kA的特征值；(6）是A*的特征值（k是正整数）；(7）f(a)是f(A)的特征值，其中f(x)是x的多项式例6设A是3阶方阵且4-E=4+2E=2A+3E=0，求2A-3E的值312解由已知条件知，A的特征值为1，-2，-A-"的特征值为1，2.3P又[4=1x(-2)x(-)=3, 所以,_3A的特征值为3，-,-2,22A的特征值为6，-3，-4，2A°-3E的特征值为3，-6，-7.故2A-3E=3×(-6)×(-7)=126

由（5-5）式可知，对于 1，2 有两个特征向量线性相关，这与定理 1 矛盾，因 此，只有 1 =0， 2 =0，即 1 k 1 p + 2 k 2 p +···+ s k s p =0， 1 l 1 q + 2 l 2 q +···+ t l t q =0， 而 1 p ， 2 p ，··· ， s p 线性无关， 1 q ， 2 q ，··· ， t q 线性无关，所以 1 k = 2 k =···= s k =0， 1 l = 2 l =···= t l =0. 这说明 1 p ， 2 p ，··· ， s p ， 1 q ， 2 q ，··· ， t q 线性无关. 例 5 设  是 n 阶方阵 A 的特征值，下面结论成立. (1)  是 A 的特征值； (2) 若 A 可逆，  1 是 1 A 的特征值； (3) 若 A 可逆，  A 是 A 的伴随矩阵 * A 的特征值； (4)   k 是 A kE 的特征值； (5) k 是 kA 的特征值； (6) k  是 k A 的特征值( k 是正整数)； (7) f () 是 f (A) 的特征值，其中 f (x) 是 x 的多项式. 例 6 设 A 是 3 阶方阵且 A E  A 2E  2A 3E  0 ，求 2A - 3E * 的值. 解 由已知条件知， A 的特征值为 1，-2，- 2 3 . 1 A 的特征值为 1，- 2 1 ，- 3 2 . 又 ) 3 2 3 A  1 (2) (  ，所以， * A 的特征值为 3，- 2 3 ，-2， * 2A 的特征值为 6，-3，-4， 2A 3E *  的特征值为 3，-6，-7. 故 2 3 3 ( 6) ( 7) 126 * A  E      