《线性代数》课程教学资源（PPT课件，A）2-1消元法和矩阵的初等变换

第二章矩阵与向量第二章矩阵与向量82.1消元法与矩阵的初等变换82.2向量及其线性运算82.3向量组的线性相关性82.4矩阵的秩

第二章 矩阵与向量 第二章 矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.4矩阵的秩 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性

第二章矩阵与向量$ 2.1消元法与矩阵的初等变换消元法解线性方程组一消元法与矩阵的初等行变换三、矩阵的等价

第二章 矩阵与向量 一、消元法解线性方程组 二、消元法与矩阵的初等行变换 三、矩阵的等价 §2.1 消元法与矩阵的初等变换

第二章矩阵与向量消元法解线性方程组一引例求解线性方程组2x - X, +2xs = 4(1)X +X, +2xs =14x, +x, +4x, =2

第二章 矩阵与向量 引例 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 4 2 1 (1) 4 4 2 x x x x x x x x x  − + =   + + =  + + = 

第二章矩阵与向量解：X, +X +2x, = 102(1)(2)2x -x2 +2xg = 44x +X2 +4xs = 2X +X2 +2x =1-20+2-40+3(3)-3x, -2x, = 2-3x, - 4x, = -2X +X2 +2x, = 12+3(4)-3x2 -2x, = 2- 2xs = -4

第二章 矩阵与向量 解： (1) 1  2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 4 (2) 4 4 2 x x x x x x x x x  + + =   − + =  + + =  -2 1 + 2 -4 1 + 3 1 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 2 (3) 3 4 2 x x x x x x x  + + =   − − =  − − = −  - 2 + 3 1 2 3 2 3 3 2 1 3 2 2 (4) 2 4 x x x x x x  + + =   − − =  − = − 

第二章矩阵与向量=-3Xi+X2③+2=2(5)-3x23+0-2x, = -4x, =-13X, = -21-31-2x= 23

第二章 矩阵与向量 - 3 + 2 3 + 1 1 2 2 3 3 3 2 (5) 2 4 x x x x  + = −   − =  − = −  3 1 3 2 1 + 3 1 3 − 1 2 − 1 2 4 1 2 2 x x x  = −   = −   =

第二章矩阵与向量1，在上述变换过程中，用到三种形式的变换，分别为：1交换方程次序（2）以不等于0的数乘某个方程：（3）一个方程加上另一个方程的k倍我们把以上三种变换叫做方程组的初等变换2.线性方程组的初等变换不改变方程组的解

第二章 矩阵与向量 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． 我们把以上三种变换叫做方程组的初等变换. 1. 在上述变换过程中，用到三种形式的变换，分 别为: 2．线性方程组的初等变换不改变方程组的解．

第二章矩阵与向量消元法与矩阵的初等行变换二1.定义2.1.由mxn个数 aj, (i=1,2,..,m; j=1,2,..,n)排成的m行n列的数表ana21na21a22a2nA=.aaam2mlmn称为mxn矩阵

第二章 矩阵与向量 由 m n 个数 m n a (i m j n) ij = 1,2,  , ; = 1,2,  , 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       称为 mn 矩阵. 1.定义2.1.1 排成的 行 列的数表 二、消元法与矩阵的初等行变换

第二章矩阵与向量这m×n个数称为A的元素，简称为元，a叫做矩阵A的第行第列元素.元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵矩阵简记为 A= Amn=(aij)mxn=(aj)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵50例如是一个2×4实矩阵36-941362i222是一个3阶方阵222

第二章 矩阵与向量 矩阵简记为 ( ) ( ). ij m n A = Am n = aij = a   , , . m n A a A ij i j 这  个数称为 的 简称为 叫做矩阵 的第 行第 素 元 列元素 元 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶方阵. 例如 1 0 3 5 9 6 4 3       − 是一个 24 实矩阵, 13 6 2 2 2 2 2 2 2  i         是一个3 阶方阵

第二章矩阵与向量例如，一般n元线性方程组auxi +aix, +...+anx, =ba21X, +a22X +...+a2nxn = b(8)amX, +am2X, +... +amX, = b,m的未知量的系数可以用矩阵 A=(a,)mn 来表示,此时称A为方程组的系数矩阵

第二章 矩阵与向量 例如，一般n元线性方程组 此时称A为方程组的系数矩阵. ( ) 的未知量的系数可以用矩阵 A a = ij m n 来表示， 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 . . (8) . . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + = 

第二章矩阵与向量方程组的系数和常数项可以用一个m×(n+1)矩阵balana12ba21(22annA=baaamlm2mnm来表示，并称A为线性方程组（8)的增广矩阵

第二章 矩阵与向量 来表示，并称 A 为线性方程组(8)的增广矩阵. 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b         =             方程组的系数和常数项可以用一个 m n  + ( 1) 矩阵