《线性代数》课程教学资源（课件，A）5-1向量的内积

第五章相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型Ch585.1向量的内积与正交向量组85.2方阵的特征值与特征向量85.3相似矩阵85.4实对称矩阵的相似对角形85.5二次型及其标准型85.6正定二次型

第五章 相似矩阵与二次型 Ch5 相似矩阵与二次型 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.1 向量的内积与正交向量组 §5.3 相似矩阵 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 正定二次型

第五章相似矩阵与二次型向量的内积及正交向量组$5.1内积的定义及性质，向量的长度及性质、正交向量组的概念及求法一四、正交矩阵与正交变换五、小结 思考题

第五章 相似矩阵与二次型 二、向量的长度及性质 五、小结 思考题 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 一、内积的定义及性质 §5.1 向量的内积及正交向量组

第五章相似矩阵与二次型内积的定义及性质一、P

第五章 相似矩阵与二次型 一、内积的定义及性质

第五章相似矩阵与二次型例1 α = (1,2,1),β = (3, -1,4)则[α,β] =说明1.n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义2.内积是向量的一种运算，如果a，b都是列向量，内积可用矩阵记号表示为：[a,b ]=a'b

第五章 相似矩阵与二次型 ᵽ 说明 1. n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．

第五章相似矩阵与二次型内积的运算性质（其中a，b，g为n维向量，1为实数）(1)[a,b ]= [b,a ];(2)[1a,b ]=l [a,b ];(3) [a +b,g]= [a,g ]+[b,g];(4) [a,a]3 0,且当a 1 0时有[a,a]>0schwarz不等式 [a,b] [a,a l[b,b]

第五章 相似矩阵与二次型 内积的运算性质

第五章相似矩阵与二次型向量的长度及性质二、定义5.1.2向量的长度具有下述性质：1.非负性 当a1 0时,a>0;当a =0时,α=02. 齐次性 α l = [ Ilal;3.三角不等式 a +bla+b

第五章 相似矩阵与二次型 定义5.1.2 向量的长度具有下述性质： 二、向量的长度及性质

第五章相似矩阵与二次型如果a就是一个与a同方向的单位向量a称为把向量α单位化，例2 α=(1,2,1)，把α单位化得：121(1,2,1) =α]

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型例3 α = (1,2,1)T,β= (3,-1,4)55则e=arccosarccosV6V262V39

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型三、正交向量组的概念及求法1.定义5.1.3一组两两正交的非零向量称为正交向量组：若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组例4 α1=(1,0,3)T,α2=(6,0,-2)T,α3=(0,1,0)T是正交向量组βi=(1,0,0)T,β2=(o,,) ,β3=(0,,-)是标准正交向量组

第五章 相似矩阵与二次型 1.定义5.1.3 一组两两正交的非零向量称为正交向量 组．若正交向量组中每个向量都是单位向量,则称该 向量组为标准正交向量组. 三、正交向量组的概念及求法 是正交向量组. 是标准正交向量组

第五章相似矩阵与二次型正交向量组是线性无关向量组2.定理5.1.1证明设有a,,L ,m是正交向量组，若有ka,+ka2+L +kmam=0用a,与等式两边做内积,得k,[a,,a,]=0 i=1,2,L ,m由a,1 0,有[a;,a,]>0,从而得k, =0 i=1,2,L ,m.故a,,α2,L,m线性无关

第五章 相似矩阵与二次型 2.定理5.1.1 正交向量组是线性无关向量组. 证明