《线性代数》课程教学资源（PPT课件，A）2-4矩阵的秩1

第二章矩阵与向量$ 2.4矩阵的秩矩阵的秩矩阵秩的求法三、向量组的极大无关组的求法四、矩阵秩的第二种定义

第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的秩 二、 矩阵秩的求法 三、向量组的极大无关组的求法 四、矩阵秩的第二种定义

第二章矩阵与向量一、矩阵的秩1.定义2.4.1设mXn矩阵A，称A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩例1求矩阵A=的行秩和列秩12解： A的行向量α, =(1,0,1),α, =(0,1,2),α, =(2,1,4)0由行列式01 2=0, 知向量组α,α,,α,线性相关2

第二章 矩阵与向量 1.定义2.4.1 设m×n矩阵A，称A 的行向量组的秩称 为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的秩 1 0 1 1 0 1 2 . 2 1 4 A     =       例 求矩阵 的行秩和列秩 1 2 3 A的行向量   = = = (1,0,1), (0,1,2), (2,1,4) 1 2 3 1 0 1 0 1 2 0 , , 2 1 4 由行列式 = ，知向量组   线性相关， 解：

第二章矩阵与向量又αi,α,线性无关，故α,α,是A的行向量组的一个最大无关组，所以矩阵A的行秩等于2同样方法可以求出A的列秩等于213例2求矩阵A=的行秩和列秩12A05一解; A的行向量α =(1,1,3,1),α, =(0,2,-1,4),α, = (0,0,0,5)去掉第三个分量的α, =(1,1,1),α, =(0,2,4),α, = (0, 0,5)

第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 , , 2. A A 又    线性无关，故 是 的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵 的行秩等于 1 2 3 (1,1,3,1), (0,2, 1,4), (0,0,0,5). A    = = − = 的行向量 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1 1 3 1 2 0 2 1 4 . 0 0 0 5 A     = −       例 求矩阵 的行秩和列秩 解： 1 2 3 (1,1,1), (0,2,4), (0,0,5).      = =  = 去掉第三个分量的

第二章矩阵与向量111由行列式024=10±0，知向量组α,α,α线性无关050由s2.3例5知，向量组α,α,,α,也线性无关，所以A的行秩为31311A的列向量组β, =0β =4β, =2 β, =-1[o]0[o][5]4个三维向量必线性相关，而其中βββ线性无关

第二章 矩阵与向量 1 2 3 111 0 2 4 10 0 , , 005 由行列式 =  ，知向量组     线性无关. § 1 2 3 2.3 5 , , A 3. 由 例 知，向量组   也线性无关， 所以 的行秩为 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 A                     = = = − =                         的列向量组 4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β4线性无关

第二章矩阵与向量01.0因为￥20=10±054所以A的列秩也等于3例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的为了证明这一点，我们有以下两个定理2.矩阵的初等变换对矩阵的行秩、列秩的影响。定理2.4.1初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩证明：此处只证明第三种初等行变换不改变矩阵的行秩

第二章 矩阵与向量 1 0 0 1 2 0 10 0 1 4 5 =  因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 证明： 此处只证明第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩。 2.矩阵的初等变换对矩阵的行秩、列秩的影响

第二章矩阵与向量设m×n矩阵A的行向量组αj,α2,，αm，且αyαα;+kα,αr;+kr=BA:=am

第二章 矩阵与向量 1 2 , , 设m n A  矩阵 的行向量组   ， m ，且 1 1 ~ i j i j i r kr j j m m k A B          +                   +     = =                            

第二章矩阵与向量由α, = αiα,=(α,+kα,)-kαα=αmm可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、B的行向量组的秩相同同样，可证明矩阵的其他两种初等行变换，也不改变矩阵的行秩

第二章 矩阵与向量 1 1 ( ) i i j j m m k k         = = + − = 由 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 改变矩阵的行秩。 同样，可证明矩阵的其他两种初等行变换，也不

第二章矩阵与向量定理2.4.2初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系0例3设矩阵A=其列向量16α,αz,α3,α,间有线性关系: α =α, + 2α, -α,矩阵B矩阵A经过有限次初等行变换得到验证B的列向量β,β2,β，β,间也有线性关系β4 =β, +2β, -β3

第二章 矩阵与向量 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间的 线性关系. 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 1 1 3 0 3 0 2 1 5 6 0 2 4 , , , 2 . , 2 A B A B                     = −       = + − = + − 例 设矩阵 其列向量 间有线性关系： ， 矩阵 由矩阵 经过有限次初等行变换得到 验证 的列向量 间也有线性关系

第二章矩阵与向量解：对矩阵A作初等行变换如下：00331r3+3r213-6r52-1-12190-19-161-6030r-3r31010.5-1 2r2+r300001-1

第二章 矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下 ： 3 1 6 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 6 16 4 r r A −     −       − − 3 2 3 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 19 19 r r +     −       − 3 1 ( ) 19 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 1 1 r  −     −       − 31 2 3 3 1 1 0 3 ~ 0 2 0 4 0 0 1 1 r r r r − +           −

第二章矩阵与向量00103112Xri-r22020= B101-10容易看出，B的列向量β,βz,β,β,间也有线性关系β =β,+2β,-β3实际上，如果把以上每作一次初等行变换所得到的矩阵叫做B的话，B的列向量间同样存在上述线性关系推论1初等行变换不改变矩阵的行秩及列秩推论2初等变换不改变矩阵的行秩及列秩

第二章 矩阵与向量 2 1 2 1 1 0 3 ~ 0 1 0 2 0 0 1 1 r            − 1 2 1 0 0 1 ~ 0 1 0 2 0 0 1 1 r r B −     =       − 1 2 3 4 4 1 2 3 , 2 . B         = + − 容易看出， 的列向量 间也有 线性关系 实际上，如果把以上每作一次初等行变换所得到的 矩阵叫做B的话,B的列向量间同样存在上述线性关系. 推论1 初等行变换不改变矩阵的行秩及列秩. 推论2 初等变换不改变矩阵的行秩及列秩