《线性代数》课程教学资源（PPT课件，A）3-2逆矩阵

第三章矩阵的运算$ 3.2逆矩阵概念的引入二、逆矩阵的定义三、铁矩阵可逆的充分必要条件四、可逆矩阵的性质五、典型例题

第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的定义 三、矩阵可逆的充分必要条件 四、可逆矩阵的性质 五、典型例题

第三章矩阵的运算一、概念的引入在数的运算中，当数a≠0时，有aa-l = a-a=1,其中a_1 为a 的倒数,（或称a的逆）;在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A-1使得AA-1 = A-A=E,则矩阵A-称为A的可逆矩阵或逆阵

第三章 矩阵的运算 , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 1, 1 1 = = − − aa a a 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A -1 , 使得 一、概念的引入

第三章矩阵的运算二、逆矩阵的定义定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E则称A可逆的，并称B为A 的逆矩阵U-2例如,B=有AB=BA=E，所以A与B互为逆阵

第三章 矩阵的运算 定义3.2.1 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 二、逆矩阵的定义 1 2 5 2 , 2 5 2 1 A B     − = =         − 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵. 例如

第三章矩阵的运算说明：（1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的若设B和C是A的可逆矩阵，则有AB=BA= E, AC=CA=E.可得 B= EB=(CA)B =C(AB) =CE =C.所以A的逆矩阵是唯一的,记作A-1B=C= A-1(2)上述等式中A和B的地位是对称的(3)并不是任意一个矩阵都是可逆矩阵因此有必要讨论矩阵可逆的条件

第三章 矩阵的运算 说明: (1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1 1 B C A . − = = (3)并不是任意一个矩阵都是可逆矩阵. 因此有必要讨论矩阵可逆的条件。 (2)上述等式中A和B的地位是对称的

第三章矩阵的运算三、矩阵可逆的充分必要条件ania12ain1.伴随矩阵(21(222n设A=aan2anlnn我们构造矩阵福称为A的伴随矩阵nn（其中Aii是|A|元素ai的代数余子式

第三章 矩阵的运算 我们构造矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A       =       称为 A 的伴随矩阵. 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       三、矩阵可逆的充分必要条件 1.伴随矩阵

第三章矩阵的运算注意：伴随矩阵元素的排列顺序A中行元素的代数余子式按列排2例题1、求矩阵A=3的伴随矩阵0A11 = -2, A21 = 4, A31 = 1-2-3A"=A12 = 6, A22 = -3, A32 = -36-3-5-2A13 = 1, A23 = -2, A33 = -5

第三章 矩阵的运算 注意：伴随矩阵元素的排列顺序 A中行元素的代数余子式按列排 例题1、求矩阵 的伴随矩阵.           − − − = 1 0 2 3 1 0 1 2 1 A * 2 4 1 6 3 3 1 2 5 A   −   = − −   1, 2, 5     − − 6, 3, 3 2, 4, 1 1 3 2 3 3 3 1 2 2 2 3 2 1 1 2 1 3 1 = = − = − = = − = − = − = = A A A A A A A A A

第三章矩阵的运算A21ainA11a11a12n1a21a22a2nA12A22An2AA*二.......:anian2annAinA2nnn00(IAl0[A|0三：..三IAI00=|A|E

第三章 矩阵的运算

第三章矩阵的运算A21A11Ania11aina12a21a22A12A22An2a2nA*A=.......·..:：an2aniA2nAnnAinann00([A|IAI00:.：[A]00-IAIE

第三章 矩阵的运算

第三章矩阵的运算00IAI0Al0AA* = A*A=只要A≠0，就有A(

第三章 矩阵的运算 * * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A AA A A A E A     = = =         1 1 * * A A A A A E 0 ( ) ( ) A A 只要  = = ，就有

第三章矩阵的运算2.定理3.2.1（可逆的充分必要条件）n阶方阵A可逆←|A0，而且A-1证明已证。"←"(充分)"="(必要)若A可逆，则存在A-，使得AA-1=E两边取行列式， 得 |AA-=AA-=E=1所以I A± 0

第三章 矩阵的运算 2.定理3.2.1（可逆的充分必要条件） . | | 1 | | 0 −1    = A A n阶方阵A可 逆 A ，而且A 证明 ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E − − 若 可逆，则存在 ，使得 = 两边取行列式，得 1 1 | | | || | | | 1 AA A A E − − = = = 所以 | A| 0