《线性代数》课程教学资源（PPT课件，A）行列式1.4 克拉默法则

第一章行列式$ 1.4克拉默法则克拉默法则重要定理

第一章 行列式 二、重要定理 一、克拉默法则 §1.4 克拉默法则

第一章行列式，克拉默法则一、aXi +ai2x, +...+ainxn =ba21Xi +a22X2 +...+a2nXn=b,设线性方程组(1)anx,+an2X+...+annx,=b1若常数项b,,b,,…,b,不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组；若常数项bi,bz，,b，全为零此时称方程组为齐次线性方程组

第一章 行列式 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则

第一章行列式由线性方程组（1）的系数构成的行列式anla121a22a212nD=aa.an2nlnn称为方程组(1)的系数行列式

第一章 行列式 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 = 称为方程组(1)的系数行列式

第一章行列式定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组（1）的系数行列式D≠0那么线性方程组（1)有解，并且解是唯一的，解可以表为DDD3D1X1XDDDD其中D，i是把系数行列式D中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即b.ai,j+1...ainan...ai,j-1Dbaa2Qn,j-1n,j+1nl1nn

第一章 行列式 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 3 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D  0

第一章行列式例1用克拉默则解方程组2xi +X2 - 5x3 + x4 = 8,Xi -3x2 -6x4 = 9,2x2 - x + 2x = -5,(Xi +4x - 7x3 +6x4 = 0.818解1-5211一-59-30900-3-6D.:D.D=2-12-52-122一064-70-766881-0313DD22247061

第一章 行列式 例1 用克拉默则解方程组        + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 − − − − − − D = 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 − − − − − D = 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − − − D = 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 − − − − − D =

第一章行列式81DiD-1083.X2DD2727D-27DA27-1.X3X427DD27

第一章 行列式 3, 27 81 1  1 = = = D D x 4, 27 108 2 2 = − − = = D D x 1, 27 27 3 3 = − − = = D D x 1. 27 4 27 4 = = = D D x

第一章行列式二、齐次线性方程组的相关定理当b,b,b,全为零时，对应的齐次方程为ax, +ax, +...+ax, =0a2x,+ax,+..+a2nx,=?(2)anx, +anx,+...+amx,=0显然，齐次线性方程组一定有解X =x, =..=xn = 0即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解

第一章 行列式 二、齐次线性方程组的相关定理 (2) 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     1 2 , ., n 当b b b ， 全为零时，对应的齐次方程为 1 2 . 0 n x x x = = = = 显然，齐次线性方程组一定有解， 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解

第一章行列式推论(2)白的系数行列式如果齐次线性方程组D≠0则齐次线性方程组（2）只有零解定理1.4.2齐次线性方程组(2)有非零解的充分必要条件是它的系数行列式必为零

第一章 行列式 齐次线性方程组 (2) 有非零解 推论 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D  0 则齐次线性方程组 只有零解. (2) (2) 它的系数行列式必为零. 定理1.4.2 的充分必要条件是

第一章行列式例3问2取何值时，齐次方程组(1- 2)x -2x2 + 4x3 = 0,2x +(3- a)x2 +xs = 0,x +x2 +(1-2)x = 0,有非零解？解：-3+24-21-2-21-2212D=3-元二10111-21

第一章 行列式 例3 问 取何值时，齐次方程组 ( ) ( ) ( )      + + − = + − + = − − + = 1 0, 2 3 0, 1 2 4 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    有非零解？  解:    − − − − = 1 1 1 2 3 1 1 2 4 D     − − − − + = 1 0 1 2 1 1 1 3 4

第一章行列式=(1-2) +(a-3)-4(1-2)-2(1-2)-3+)=(1-) +2(1-) +-3 =(3-2)(-2)齐次方程组有非零解，则D=0所以 =0,=2或 =3时齐次方程组有非零解

第一章 行列式 = (1− ) + ( − 3)− 4(1− )− 2(1− )(− 3 + ) 3 (1 ) 2(1 ) 3 3 2 = −  + −  +  − 齐次方程组有非零解，则 D = 0 所以  = 0, = 2 或  = 3 时齐次方程组有非零解. = (3 − )( − 2)