《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第六章 线性空间与线性变换_第一节 线性空间的概念_6.1 线性空间的概念

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第六章线性空间与线性变换C=a2第一节Car线性空间的概念数（和十）六业

第一节 线性空间的概念 第六章 线性空间与线性变换

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一 二 线性代数 第一节 线性空间的概念 新时代大学数学系列教材 线性空间 子空间

线性代数第一节线性空间的概念一线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推厂数域：数集P中任意两个数作一运算（加、减、乘、除）后的结果仍在P中，就称P为数域数域？例1.（有理数、{实数、{复数）例2.Q(/2)iab~2|a,bQ)！是否构成数域？例3.（整数！是否构成数域？首高教育出社1新时代大学数学系利教材

第一节 线性空间的概念 新时代大学数学系列教材 线性代数 一. 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个 抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 数域： 数集P中任意两个数作一运算（加、减、乘、 除）后的结果仍在P中，就称P为数域. 例1. {有理数}、{实数}、{复数} 数域? 例2. 是否构成数域? 例3. {整数}是否构成数域 ?

线性代数第一节线性空间的概念复习：在n维向量空间中：+=(ai+bi,a+b2,....an+bn)ER"k.=(kay,ka,..,kan)ERn,kR满足：1)口十=+口；2)0+0）十=口+十0）;（3)□+0=;(4)口+-口)=0;(5)10=0;(0)k(l)=(kl);（7)k（o十）=k十ko（8)k+)=k+l称Rn构成n维实向量空间首高管教育出服社11新时代大学数学票利教材

第一节 线性空间的概念 新时代大学数学系列教材 线性代数 复习：在n维向量空间中： ￾ + ￾ = (a1 +b1 , a2 +b2 , ., an + bn )∈Rn , k • ￾ =(ka1 , ka2 , ., kan )∈Rn , k ￾ R. 满足： (1) ￾ +￾ = ￾ + ￾ ; (2) (￾ +￾ ) +￾ = ￾ +(￾ +￾ ); (3) ￾ +0 = ￾ ; (4) ￾ +(- ￾ ) = 0 ; (5) 1 ￾ = ￾ ; (6) k(l ￾ ) = (kl)￾ ; (7) k(￾ +￾ ) = k￾ +k￾ ; (8) (k+l) ￾ = k ￾ +l ￾ . 称 Rn 构成 n 维实向量空间

线性代数第一节线性空间的概念定义1.设V为非空集合，P是数域，如果在V中定义了加法（+"）和数乘（"），“+”和"在V中封闭，且满足前面所述的八条运算规律，则称系统（V.P，+，·）为线性空间（或：称V为数域P上的线性空间）注意1.说V为线性空间，要注意数域、“+”和2.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算3.线性空间中的元素（向量）不一定是有序数组4.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间.首高等教育出服社1新时代大学数争东利教材

第一节 线性空间的概念 新时代大学数学系列教材 线性代数 定义1. 设V为非空集合，P是数域，如果在V中定义了加法(“+”)和数 乘(“•”)， “+”和“•”在V中封闭,且满足前面所述的八条运算规律，则 称系统（V, P, +, • ）为线性空间（或：称V为数域P 上的线性空间）. 注意 1.说V为线性空间，要注意数域、 “+”和 “•” 2. 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为 线性运算． 3. 线性空间中的元素(向量)不一定是有序数组． 4. 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不 封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性 空间．

线性代数第一节线性空间的概念线性空间的判定方法（1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例4实数域上的全体mUn矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作RAmonBmonCmon,AmoDmon,口Rm是一个线性空间高教育出服社1新时代大学数学系利教材

第一节 线性空间的概念 新时代大学数学系列教材 线性代数 线性空间的判定方法 (1) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘 运算，则只需检验对运算的封闭性． 例4 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ．

线性代数第一节线性空间的概念例5次数不超过n的多项式的全体，记作P[xl，即Plxl=(p=anx"+L +arx+aol anL,arai R,对于通常的多项式加法，数乘多项式的乘法构成实数域上的线性空间通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律。（anx"aixao)（bnx"bixbo）（anb）x"（aib)x（aoboanx"aixao)（anx"（ai)x（ao)P[x],对运算封闭首高事教育出服社11新时代大学数学票利教材

第一节 线性空间的概念 新时代大学数学系列教材 线性代数 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律．

线性代数第一节线性空间的概念例n次多项式的全体6.Q[xnpanxnaixaolan,，alaoR且ano对于通常的多项式加法和乘数运算不构成实数域上的线性空间0p0x"0x00xQIxl，对运算不封闭例7在区间[a，b止全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间.首高等教育出服社1新时代大学数学票利教材

第一节 线性空间的概念 新时代大学数学系列教材 线性代数 例 6. 例7 在区间 上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间．

线性代数第一节线性空间的概念（2）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律，例8正实数的全体，记作R，在其中定义加法及乘数运算为abab,aa,dR,a,bR！验证对上述加法与乘数运算构成实数域上的线性空间证OORaROaaOR所以对定义的加法与乘数运算封闭高教育出服社1新时代大学数学东利教材

第一节 线性空间的概念 新时代大学数学系列教材 线性代数 (2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘 运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律． 例8 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法及乘数运算为 验证 对上述加法与乘数运算构成实数域上的线性空间． 证 所以对定义的加法与乘数运算封闭．