《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第六章 线性空间与线性变换_第四节 线性变换_6.4 线性变换

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第六章线性空间与线性变换C=a2第四节Car线性变换=at数二（和十六2业

第四节 线性变换 第六章 线性空间与线性变换

线性代数第四节钱性变换线性变换的概念与性质目录线性变换的运算线性查换的短险高事教商出版社1新时代大学教学集列教材

一 二 三 线性代数 第四节 线性变换 新时代大学数学系列教材 线性变换的概念与性质 线性变换的运算 线性变换的矩阵

线性代数第四节线性变换一.线性变换的概念与性质定义1设口是数域P上的线性空间V的一个变换，若口满足：口+口）=口+口口口口EV(2)□（k口）=k（O),口kEP,口EV则称口是线性空间V的线性变换例1在R中定义变换T：T1, x2,xg, x2 x3,0则T不是R的线性变换高教育出社1新时代大学数学系利教材

第四节 线性变换 新时代大学数学系列教材 线性代数 一.线性变换的概念与性质 定义１ 设￾ 是数域P上的线性空间V 的一个变换，若￾ 满足： (1) ￾ (￾ + ￾ )= ￾ (￾ ) + ￾ (￾ ), ￾ ￾ , ￾ ∈V, (2) ￾ (k￾ ) = k ￾ (￾ ), ￾ k ∈P , ￾ ∈V, 则称￾ 是线性空间V 的线性变换. 例1

线性代数第四节线性变换证aab,bTa, b,a,b,a, b, [o, b, a,a,b, b3,0T ,a2 a3,,b b3,0TOOOT(O)OT(O)例2 在线性空间R,[冈]中，变换T (f(x)=f(),是一个线性变换高教育出服社11新时代大学数学系利教材

第四节 线性变换 新时代大学数学系列教材 线性代数 证 例2 在线性空间Rn [x]中，变换T (f (x)) = f ’(x),是一个线性变换

线性代数第四节线性变换证设VgVTgm（f（x）g（f（x）g（x）OTAT(kKf(xk(x)kT例3定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间V，在这个空间中变换T是一个线性变换首高事教育出服社1新时代大学数学系利教材

第四节 线性变换 新时代大学数学系列教材 线性代数 证 例3 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数 域上的一个线性空间V ，在这个空间中变换 是一个线性变换

线性代数第四节线性变换证设fg山TgagaafaagaaOATHoakaaokaaokTgam例4在数域P上的线性空间V中，定义口：（）=k口，常数kEP，EV零变换k口o,数乘变换易证口为线性变换k1，恒等变换首高教育出社1新时代大学数学系利教材

第四节 线性变换 新时代大学数学系列教材 线性代数 证 例4 在数域P上的线性空间V 中，定义￾ ： ￾ (￾ ) = k￾ , 常数k ∈P , ￾ ￾ ∈V. 易证￾ 为线性变换——数乘变换

线性代数第四节线性变换线性变换的性质：1TAOTOTOE2.若口口k，k22口口kmm，则Tk,Tk,TkmTm3.若1，2，口，m线性相关，则T，T2，口，T口m亦线性相关注意若口，，口，口线性无关，则T口，T口，口，T口不一定线性无关高教育出服社1新时代大学数学系利教材

第四节 线性变换 新时代大学数学系列教材 线性代数 线性变换的性质：

线性代数第四节线性变换例5在R[x]中，1,x，，xn-！线性无关，对于例2中的线性变换 (f (x))=f'(x):（1），（x），.…，（xn-）是线性相关的但是，若口是可逆线性变换（即口是V到自身的1－1映射)，则有：4若是可逆线性变换，则1，．……，，线性相关的充要条件是口（口），，口（口）线性相关高教育出社11新时代大学教学系列教材

第四节 线性变换 新时代大学数学系列教材 线性代数 例5 在Rn [x]中, 1, x, ···, x n-1 线性无关, 对于例2 中的线性变换 ￾ (f (x)) = f ’(x): ￾ (1), ￾ (x), ., ￾ ( x n-1) 是线性相关的. 但是，若￾ 是可逆线性变换 (即￾ 是V 到自身 的1 – 1映射)，则有： 4. 若￾ 是可逆线性变换，则￾ 1 , ., ￾ s 线性相 关的充要条件是￾ (￾ 1 ) , ., ￾ (￾ s ) 线性相关

线性代数第四节线性变换二.线性变换的运算定义2设，t是数域P上线性空间V的线性变换，kEP，规定：（1)（+)□=□（）+（);(2)（k口)=k口（口);（3)（口)=口（（)线性变换的加法、数乘与乘法例6在R2中，线性变换：口a,b)=(b,-a),t(a,b)=(a,-b),计算3口-4t，T解(3-4t)(a,b)=3(a,b)-4t(a,b)高教育出服社1新时代大学数学系利教材

第四节 线性变换 新时代大学数学系列教材 线性代数 二.线性变换的运算 定义2 设￾ ,τ是数域P上线性空间V 的线性变换， k ∈P , 规定： (1) (￾ +τ) ￾ = ￾ (￾ ) +τ(￾ ); (2) (k￾ )￾ = k ￾ (￾ ); (3) (￾ τ)￾ = ￾ (τ(￾ )). —— 线性变换的加法、数乘与乘法. 例6 在R2中，线性变换：￾ (a, b) = (b, -a),τ(a, b) = (a, -b), 计算3￾ - 4τ, τ￾ . 解 (3￾ - 4τ)(a, b)= 3￾ (a, b) - 4τ(a, b)