《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第二章 行列式_第三节 拉普拉斯定理_第三节 拉普拉斯定理

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第二章行列式C=a第三节拉普拉斯定理Car数（和十）六2业

第三节 拉普拉斯定理 第二章 行列式

线性代数第三节拉普拉斯定理目录接善接斯展开定理高事教商出成社1新时代大学数学东列教材

一 线性代数 第三节 拉普拉斯定理 新时代大学数学系列教材 拉普拉斯展开定理

第三节拉普拉斯定理线性代数k阶子式：矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S，称为A的一个阶子式S的余子式：在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的相对位置组成的n-k阶行列式M，称为S的余子式S的代数余子式：设S的各行位于A中第i.ikS的各列位于A中第ji.j列，称A =(- 1)(i+Li)+Gi+L j)M为S的代数余子式首高等教有出服社新时代大学数学东列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节 拉普拉斯定理 k阶子式： 矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k 2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式. S的余子式: 在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式. S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i 1 ,.,i k , S的各列位于A中第 j 1 ,., j k列，称 为S的代数余子式

第三节拉普拉斯定理线性代数01T1+3+2+3A =(-1)M,=-MM -10 l1+3+4+2+3+5A =(-1)M,=M2高等教出社1：新时代大学数学集列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节 拉普拉斯定理

第三节拉普拉斯定理线性代数例如，5阶行列式detA中，取子式a22a24S=a52a54则其代数余子式为anla13a15(- 1)(2+5)+(2+4)31a33a35a4la45a43拉普拉斯定理在行列式D中任取k(1<k<n-1)行（列），由这k行（列）元所组成的一切k阶子式分别与它们的代数余子式的乘积之和，等于行列式D高事教出社新时代大学数学东列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节 拉普拉斯定理 例如，5阶行列式detA中，取子式 则其代数余子式为 拉普拉斯定理 在行列式D中任取k(1≤k≤n-1)行 （列），由这k行（列）元所组成的一切k阶子式分别 与它们的代数余子式的乘积之和，等于行列式D

第三节拉普拉斯定理线性代数例1（基本结论）*aeAaA00mmmmdetcdetAxdetBdetOr*BBOennonno0aCA一dets(detA）L（detA）（A为方阵一Cce·小M意事教出社新时代大学教学东列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节 拉普拉斯定理 例1(基本结论)

第三节拉普拉斯定理线性代数福D=例2计算解早按1，2行展开，不为零的二阶子式为A, =(- 1)I+2+1+3A, =(- 1)I+2+3+5=000所以，D=0.意筝教出社新时代大学数学东列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节 拉普拉斯定理 例2 计算 解 按1，2行展开，不为零的二阶子式为 所以，D = 0

第三节拉普拉斯定理线性代数例3设A，B为n阶可逆矩阵，证明如下矩阵可逆，并求其逆：acAoD-为什么？B0.解detD=(-1)nn(detA(detB）1 0所以可逆X,0aX设D-1=以EXX40acAoaX, X,o aCX +AX,CX,+AX o al OoDD-1=CSB0X, X0 1BX,BX2i CX, +AX, =Ii X=A!CX,+AX,=0↑ X, =- A'CB-1B-!0aoD-1P1C-A'CB-1BX,=0eA-1X,=0i10:11BX,=IX, =B-1高事教出社新时代大学数学东列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节 拉普拉斯定理 例3 设A, B为n阶可逆矩阵，证明如下矩阵可逆，并 求其逆： 为什么？ 解

第三节拉普拉斯定理线性代数detD=(- 1)+2+ +n+(+1)+(n+2)+L +(n+n)(det A)(det B)2(n+1)+nn(det A)(det B)=(- 1)= (- 1)n n (det A)(det B)高等教出社新时代大学数学东列教材

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