《线性代数》课程教学资源（课件，A）5-2方阵的特征值与特征向量

第五章相似矩阵与二次型方阵的特征值与特征向量$5.2特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的求法三、特征值的性质四、特征向量的性质

第五章 相似矩阵与二次型 §5.2 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 四、特征向量的性质 三、特征值的性质

第五章相似矩阵与二次型一、方阵的特征值与特征向量的概念定义5.2.1设A是n阶矩阵，若存在实数l和非零向量x,使得Ax=lx成立，则称数l为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值1的特征向量0.20.8α2 = (1)例1P=α1α30.610.4[0.88:() ()Pa10.4是A的对应于特征值1的特征向量所以α1

第五章 相似矩阵与二次型 一、方阵的特征值与特征向量的概念

第五章相似矩阵与二次型[0.80.20.412) =(Pα2=0.4>[0.40.-0.867所以α2 =是A的对应于特征值0.4的特征向量20.80.2Pα3=[0.40.6所以α3不是A的特征向量2

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型0.80.21的特征值呢？入=3是不是P0.40.60.80.2X1设10.40.6X2X20.8x1+0.2x2=3x1则0.4x1 + 0.6x2 = 3x2-2.2x1+0.2x2=0即0.4x1-2.4x2=00.80.2的特征值。所以入=3不是P0.40.6

第五章 相似矩阵与二次型 ᵽᵽ = ᵽᵽ = ᵽ

第五章相似矩阵与二次型注意（1）一个特征向量只能属于一个特征值若Aα = α = α(α 0),则= （2）一个特征值有多无数个特征向量。若Aα = α(α 0),则A(kα) = (kα)

第五章 相似矩阵与二次型 注意

第五章相似矩阵与二次型二、方阵的特征值与特征向量的求法设A是n阶矩阵，找到实数l，使得存在非零向量x,使得Ax=l x日#口即A-Ex=0即(A-入E)x=0有非零解|A-2E=0

第五章 相似矩阵与二次型 二、方阵的特征值与特征向量的求法 ᵽᵽ− ᵽ= ᵽ 即 即

第五章相似矩阵与二次型A- I E= 0La12auainLana22a2n=0LLLLLanan2Cnn称为A的特征方程记f,(I）=A-E|,称为方阵A的特征多项式

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型求特征值与特征向量的步骤2.对每一个l,求方程组(A-1E)x=0的基础解系

第五章 相似矩阵与二次型 求特征值与特征向量的步骤：

第五章相似矩阵与二次型解：A的特征多项式为3-1-=(4- 1 )(2- 1)A-IE-13-lPA的特征值为l,=2，1，=4对I , = 2,3- 2 -1 uéx, u(A- 2E)x=2--1 3-21

第五章 相似矩阵与二次型 解：A的特征多项式为

第五章相似矩阵与二次型él1-luéx, uél-luéx, u即二u=0uéuC<e:e-1 1tex,i00uex,ap 基础解系:p=(1,1)g/P,=(1,1)伪属于特征值2的一个特征向量。其全部特征向量为kpi（k0);同理可求属于l,=4的一个特征向量为 Pz=(-1,1)其全部特征向量为kpz(k0)

第五章 相似矩阵与二次型