《线性代数》课程教学资源（PPT课件，A）2-2向量和线性运算

第二章矩阵与向量S 2.2向量及其线性运算n维向量的概念二、n维向量的线性运算

第二章 矩阵与向量 二、n 维向量的线性运算 一、n维向量的概念 §2.2 向量及其线性运算

第二章矩阵与向量一、n维向量概念定义2.2.1由n个数组成的有序数组(αai，a2，…an)称为一个n维向量α=(ai, az,... an)其中第i个数a（i=1,2，.，n）称为n维向量α的第i个分量或坐标分量全为实数的向量称为实向量分量全为复数的向量称为复向量

第二章 矩阵与向量 由n个数组成的有序数组(a1 , a2 , . an )称为一个 n维向量.  = ( a1 , a2 , . an ) 其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, . , n ) 称为 n 维向量  的第 i 个分量或坐标. 一、n维向量概念 定义2.2.1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量

第二章矩阵与向量定义：两个向量α=(ai, a2, ... an), β= (b 1, b 2,.…. b n)相等，记α=β一>a;=bi(i= 1, 2, ... , n)例如： 若(a,2,3,0) =(1,2,3,b), 则a = 1,b = 0(a,2,4,0) ±(1,2,3,b)

第二章 矩阵与向量 定义：两个向量 = ( a1 , a2 , . an ),  = (b 1 , b 2 , . b n ) 相等，记  =  ai = bi ( i = 1, 2, . , n) 例如：

第二章矩阵与向量零向量0=(0, 0, ... , 0)负向量对 α=(ai, a2, ... an)称(-aj,-a2,...,-an)为α的负向量.记为一α。—α=(—a,—a2,...,—an)行向量α= (aj, az, ..., an)aQ列向量α=?

第二章 矩阵与向量 零向量 0 = ( 0, 0, . , 0 ) 负向量 对  = ( a1 , a2 , . an ) 称 ( －a1 , －a2 , ., －an ) 为 的负向量.记为－ . － = (－a1 , －a2 , ., －an ) 行向量  = ( a1 , a2 , ., an ) 列向量 1 2 1 2 ( , , , )T n n a a a a a a        = =      

第二章矩阵与向量二、n维向量的线性运算1.加法设α= (ai, a2, ..., an), β= (b 1, b 2, ..., b n)则 α+ β=（ai+bi,az+b2,.……,an+bn)称为向量α与β的和。由负向量即可定义向量的减法：α -β= α+(β) =(ai -bi,..., an -bn)

第二章 矩阵与向量 设 = ( a1 , a2 , ., an )，  = (b 1 , b 2 , ., b n ) 则 ( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn )称为向量与 的和。  + = 二、n 维向量的线性运算  － =  + (－ ) =( a1 － b1 , ., an － bn ) 由负向量即可定义向量的减法： 1.加法

第二章矩阵与向量2.数量乘法，是实数，则设α=(a,a2,..., an),Aα= (aai, Ra2,..., Aan)称为数与向量α的乘积，数入与向量α的乘积的性质有：(1) 0 α = 0 (2) (- 1)α=-α (3) 20 = 0(4)如果0，α0，那么α≠0.向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算

第二章 矩阵与向量 (  a1 ,  a2 , .,  an ) 称为数与向量的乘积. 设 = ( a1 , a2 , ., an )， 是实数，则 2.数量乘法 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算. 数与向量的乘积的性质有: (1) 0 (2) ( ) (3) 0 0 (4) 0 0.        = = − =    ０ -１ 如果 ０， ，那么  =

第二章矩阵与向量向量的线性运算满足八条运算律设α、β、是n维向量，0是n维零向量k、l是任意实数。(1)α+β=β+α(2)(α+β)+=α+(β+)(3)α+0=α(4)α+(一α)=0

第二章 矩阵与向量 向量的线性运算满足八条运算律 (1)  +  ＝  +  (2) ( +  ) +  ＝  + (  +  ) (3)  + 0 ＝  (4)  + (－ ) ＝ 0 设  、 、 是 n 维向量，0 是 n 维零向量， k、 l 是任意实数

第二章矩阵与向量k(α+β) =kα+kβ5)(6)(k+l) α=kα+lα(7)(kl)α=k(lα)(8)1α=α

第二章 矩阵与向量 (5) k ( +  ) ＝ k + k (6) ( k + l )  = k + l (7) ( k l )  = k ( l ) (8) 1· = 

第二章矩阵与向量例1设α=(1，3，-2，2),β=(5，1，-2，0)，若已知α+2=3β，求向量解：由α+2-3β得1= [(15,3,-6,0) -(1,3,-2,2)](3β--a2(14, 0,-4, -2) = (7,0,-2, -1)253-7-1例2已知向量α=3,3α, -4α, =17，求向量2α,+3αz2-284

第二章 矩阵与向量 例1 设 =(1，3，-2，2) ,  = ( 5，1，-2，0 )，若 已知 +2=3，求向量 . 解:由 +2=3得 1 (3 ) 2   = − a 1 [(15,3, 6,0) (1,3, 2,2)] 2 = − − − 1 (14,0, 4, 2) 2 = − − = − − (7,0, 2, 1) 1 1 2 1 2 5 3 1 7 2 3 4 2 3 . 3 17 2 2 4 8              − −     = − = +         −             例 已知向量 ， ，求向量

第二章矩阵与向量3-7解：由173α,-4αz=-28得123354-7-113-217-8三282-28A

第二章 矩阵与向量 1 2 3 7 3 4 17 2 8       −   − =     −      解：由 2 5 3 1 7 1 (3 ) 3 17 4 2 2 4 8          − −     = −         −             得 12 3 4 1 1 8 2 4 8 2 4 1             = =     − −                