《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第三章 矩阵的运算 3-1矩阵的运算

教学课型：理论课实验课口习题课第_3-1_节实践课技能课口其它主要教学内容（注明：*重点#难点）：重点：矩阵运算的定义、条件，矩阵可逆的定义、条件，逆矩阵的求法。难点：矩阵可逆的条件、逆矩阵的求法教学目的要求：（1）掌握矩阵运算的定义；（2）熟悉矩阵运算的条件；（3）熟悉矩阵运算的性质；教学方法和教学手段：课堂讲授，多媒体与板书相结合讨论、思考题、作业：参考资料：同济大学编《线性代数》高等教育出版社

第 3-1 节 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 重点： 矩阵运算的定义、条件，矩阵可逆的定义、条件，逆矩阵的求 法。 难点： 矩阵可逆的条件、逆矩阵的求法 教学目的要求： （1）掌握矩阵运算的定义； （2）熟悉矩阵运算的条件； （3）熟悉矩阵运算的性质； 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

第三章矩阵的运算83.1矩阵的运算行数、列数分别相等的矩阵成为同型矩阵两个同型矩阵A=(a,）mn，B=(b,）mxn，如果它们对应的元素均相等，即a,=b,(i=1,2,m,j=1,2,,n)，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B一、矩阵的加法定义1设矩阵A=(ag）mn，B=(b,）mn，称矩阵C =(a, +b, )mn为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B设矩阵A=(a）mx，称矩阵（-au）mn为A的负矩阵，记作-A，即- A=(-a, )mxn *利用负矩阵，矩阵的减法可定义为A-B=A+(-B)由矩阵加减法的定义，可以看出只有同型矩阵才能进行加法或减法运算。矩阵的加法满足下列运算规律（设A.B.C都是mxn阶矩阵，0是mxn阶零矩阵）：(1) A+B=B+A;(2) (A+B)+C=A+(B+C);(3) A+0=A;(4) A+(-A) =0.例1求矩阵X，使ro23-1-12310123012-1+X=12-20-110-1解

第三章 矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算 行数、列数分别相等的矩阵成为同型矩阵 两个同型矩阵 A  aij mn ( ) ， B  bij mn ( ) ，如果它们对应的元素均相等，即 a b (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) ij  ij     ，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A  B . 一、矩阵的加法 定义 1 设矩阵 A  aij mn ( ) ， B  bij mn ( ) ，称矩阵 C  aij  bij mn ( ) 为矩阵 A 与矩阵 B 的和，记作 C  A B. 设矩阵 A= aij mn ( ) ,称矩阵 aij mn ( ) 为 A 的负矩阵，记作- A ,即 - A = aij mn ( ) . 利用负矩阵，矩阵的减法可定义为 A B= A +(- B ). 由矩阵加减法的定义,可以看出只有同型矩阵才能进行加法或减法运算. 矩阵的加法满足下列运算规律（设 A,B,C 都是 mn 阶矩阵, 0 是 mn 阶零 矩阵）： （1） A B  B  A ； （2） (A B) C  A (B C) ; （3） A 0= A ; （4） A +(- A )  0. 例 1 求矩阵 X ，使              1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 2 1 ＋ X =              0 1 3 2 1 2 2 0 1 1 3 0 . 解

0-2+2-0P2300X=2-2二、数与矩阵的乘法定义2设矩阵A=(a,）mm，几是一个数，矩阵（aa,）mx称为数与矩阵A的乘积，记作入A或A入，即A=A=(a,)mxn由定义2知，数乘以矩阵与数乘以行列式显然是不同的，根据定义容易验证，数与矩阵的乘法满足下列运算规律（设A，B为mxn矩阵，，为数)：(1) (μA)=(A)A;(2)(a+μ)A=A+μA;(3) (A+B)=^A+^B;(4) 1A=A.注：矩阵的加法与数乘运算构成矩阵的线性运算，满足上面八条运算规律，因此，所有mxn矩阵构成的集合，连同矩阵的加法与数乘运算为线性空间.我们将在第六章进行介绍例2设14-530-7B:1=201-1 1 2求2A-3B解14-530-72A-3B=-11220128-10781190-2[-3 ° -2]7-3-4402线性变换的系数构成的mxn矩阵

X ＝              0 1 3 2 1 2 2 0 1 1 3 0 －              1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 2 1 ＝                1 2 1 0 0 3 3 1 4 2 1 1 ． 二、数与矩阵的乘法 定义２ 设矩阵 A = aij mn ( ) , 是一个数,矩阵 aij mn ( ) 称为数与矩阵 A 的乘 积,记作 A 或 A ,即 A =A= aij mn ( ) . 由定义２知，数乘以矩阵与数乘以行列式显然是不同的． 根据定义容易验证，数与矩阵的乘法满足下列运算规律（设 A , B 为 mn 矩 阵，  ,  为数）： （1） (A)  ()A ； （2） (  )A  A A ; （3） (A B)  A B ; （4） 1A  A. 注：矩阵的加法与数乘运算构成矩阵的线性运算，满足上面八条运算规律， 因此，所有 mn 矩阵构成的集合，连同矩阵的加法与数乘运算为线性空间.我们 将在第六章进行介绍. 例 2 设                1 1 2 3 0 - 7 , 2 0 1 1 4 - 5 A B , 求 2A 3B. 解 2A 3B                 1 1 2 3 0 7 3 2 0 1 1 4 5 2                          7 3 4 7 8 11 3 3 6 9 0 21 4 0 2 2 8 10 线性变换的系数构成的 mn 矩阵

aua12aina2ia22a2ran..amnan2称为线性变换的系数矩阵，三、矩阵的乘法在引进矩阵的乘法运算之前，我们先考察线性变换设变量y2,,ym能用变量x,x,,x线性表示，即=aux +ai2x, +...+ainxny2=a2ixj+a22x2+..-+a2nxn[ym=amx,+am2X2+...+ammXn其中a,(i=1,2,,m,j=1,2,n)为常数.这种从x,x2,,x,到y,2,ym的变换叫做线性变换.此线性变换的系数构成的mxn矩阵[aai2.ana21a22a2nLamam2...am称为线性变换的系数矩阵，设两个线性变换[yi=aix, +ai2X2 +ai33,(3-1)[y2=a21x,+a2x2+a3g,[ x, = brit+ +b12/2,(3-2)x2=b21 +b22/2,[x, =b31fi +b3212,为求出从t,t,到yi,y,的线性变换，可将(3-2)式代入(3-1)式得：[y=(aib1+a12b2:+a13b31)t,+(abi2+a12b22+a13b32)t2,(3-3)y=(a2b1i+a22b21+a23b31)t,+(a2ib12+a22b22+a23b32)t2线性变换(3-3)可看成是先作线性变换（3-1)再作线性变换(3-2)的结果，我们把线性变换(3-3)叫做线性变换(3-1)与(3-2)的乘积，相应地把(3-3)所对应的系数矩阵定义为(3-1)与(3-2)所对应的系数矩阵的乘积，即

            n n n n n n a a a a a a a a a . 1 2 21 22 2 11 12 1        称为线性变换的系数矩阵． 三、矩阵的乘法 在引进矩阵的乘法运算之前，我们先考察线性变换. 设变量 m y , y , , y 1 2  能用变量 n x , x , , x 1 2  线性表示,即                    , , , 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x          其中 a (i 1,2, ,m, j 1,2, ,n) ij     为常数.这种从 n x , x , , x 1 2  到 m y , y , , y 1 2  的变 换叫做线性变换.此线性变换的系数构成的 mn 矩阵             m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 称为线性变换的系数矩阵. 设两个线性变换          , , 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 y a x a x a x y a x a x a x (3-1)            , , , 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 x b t b t x b t b t x b t b t (3-2) 为求出从 1 2 t ,t 到 1 2 y , y 的线性变换，可将(3-2)式代入(3-1)式得：                ( ) ( ) . ( ) ( ) , 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 2 y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t (3-3) 线性变换(3-3)可看成是先作线性变换(3-1)再作线性变换(3-2)的结果,我们把 线性变换(3-3)叫做线性变换(3-1)与(3-2)的乘积，相应地把(3-3)所对应的系数 矩阵定义为(3-1)与(3-2)所对应的系数矩阵的乘积，即

[bubr2[aubu,+ai2b2+a3b31a,b12+aizb2+ai3b32aua2a13b21b,[a2ia22[a2ibii+a22b21+a23b31a2ib12+a22b22+a23b32.a23[b31 b32一般地，我们有定义3设A=(a,)是mxs矩阵，B=(b,)是s×n矩阵，作mxn矩阵C=(c),其中Cg=a,br,+azb2,+..+axb,=aib,(i=1,2,,m; j=12...n),k=l矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB，即binbubi2...aua12arsbab22..bzna21a22a2(bstb2...bsnamlam2ab+..+a,bs..abin+..+a,bsaab+...+a2.bst.abin++..+a,bsambu+.+ambt...ambin+..+amsbsn注意，在矩阵乘积的定义中，只有当左边矩阵A的列数与右边矩阵B的行数相等时，乘积AB才有意义，这时矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于矩阵B的列数且AB的第i行第i列的元素是A的第i行与B的第i列的对应元素乘积之和.例3设21-102103032014解1×2+0×1+2×3-1×41×1+0×2+2×0-1×104AB =0×2+1x1-1x3+3×40×1+1×2-1×0+3×l10-1×1+2×2+0×0+1×1-1×2+2×1+0×3+1×444例3中，矩阵B的列数为2，A的行数为3，所以B与A不能相乘，即BA无

      21 22 23 11 12 13 a a a a a a           32 22 12 31 21 11 b b b b b b ＝               2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 一般地，我们有 定义３ 设 A= ( ) aij 是 m s 矩阵， B ＝( ) bij 是 sn 矩阵，作 mn 矩阵 ( ) ij C  c ， 其中       s k ij ai b j ai b j aisbsj aikbkj c 1 1 1 2 2  ( i 1,2,  ,m；j 1,2,  ,n ), 矩阵 C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积，记作 C  AB ,即               m m ms s s a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1               s s sn n n b b b b b b b b b        1 2 21 22 2 11 12 1 =                            m ms s m n ms s n s s n s s n s s n s s n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b             1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 注意，在矩阵乘积的定义中，只有当左边矩阵 A 的列数与右边矩阵 B 的行数 相等时，乘积 AB 才有意义，这时矩阵 C 的行数等于矩阵 A 的行数， C 的列数等 于矩阵 B 的列数且 AB 的第 i 行第 j 列的元素是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的对应元 素乘积之和. 例 3 设 A =              1 2 0 1 0 1 1 3 1 0 2 1 ， B =               1 4 0 3 2 1 1 2 解                                                        1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 1 0 3 1 4 0 1 1 2 1 0 3 1 0 2 1 1 1 3 3 4 1 1 0 2 2 0 1 1 1 2 0 1 2 3 1 4 AB            4 4 5 10 0 4 . 例 3 中，矩阵 B 的列数为 2，A 的行数为 3，所以 B 与 A 不能相乘，即 BA 无

意义.例4设[a,a2B=[6,b?.. b,],A=Lan则[a,b]ab..abna,b,a,b,.. a,b.AB=La,b,..abna,b,而B与A的乘积是一个一阶矩阵，即(aa2BA=[b]b,b,1=ab+ab+...+a,b.....Lan]此例说明，即使AB与BA都有意义，但两者却不是同型矩阵例5设4B-32求 AB与 BA.解4-[7 3 -1-[1 -9]μ[3 1 -9]-18 8]例5表明，AB与BA都有意义且为同型矩阵，但ABBA，即矩阵的乘法不满足交换律.而A±O，B+O，由BA=O可知，两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，因此，由AB=O，推不出A=O或B=O.此外，由AC=BC且C±O，也推不出A=B，即矩阵的乘法不满足消去律.矩阵的乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：

意义. 例 4 设   n n B b b b a a a A   1 2 2 1 ,               , 则              n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b AB        1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 . 而 B 与 A 的乘积是一个一阶矩阵，即 BA                n n a a a b b b   2 1 1 2  a1b1  a2b2  anbn . 此例说明，即使 AB 与 BA 都有意义，但两者却不是同型矩阵. 例 5 设                   3 6 2 4 1 2 2 4 A ， B ， 求 AB 与 BA . 解 AB                         8 16 16 32 3 6 2 4 1 2 2 4 ,                        0 0 0 0 1 2 2 4 3 6 2 4 BA . 例 5 表明， AB 与 BA 都有意义且为同型矩阵，但 AB  BA ，即矩阵的乘法 不满足交换律.而 A  O, B  O，由 BA  O 可知，两个非零矩阵的乘积可能是零 矩阵，因此，由 AB  O ，推不出 A  O 或 B  O .此外, 由 AC  BC 且 C  O ， 也推不出 A  B ，即矩阵的乘法不满足消去律. 矩阵的乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：

(1) (AB)C= A(BC);(2) A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3）(AB)=(αA)B=A(αB)（其中为数）L例6设4121031B =-21A=2201-12200求 AC+BC.解法一41141321013AC+BC-23-21222-1 010200021010-4O=8-32o5231-2法二4-11[o2476-4 1073-21AC+BC =(A+ B)C =08022-2Lo20下面介绍几类特殊的方阵形如0air0ai2anai...00a222na21a22.-:100annLanan2an的方阵分别称为上，下三角形矩阵，统称为三角形矩阵容易验证，若A，B为n阶上（下）三角形矩阵，入是数，那么A+B，A，AB仍为n阶上（下）三角形矩阵.特别地，矩阵

（1） (AB)C  A(BC) ； （2） A(BC)  AB  AC ，(BC)A  BACA ； （3） (AB)  (A)B  A(B) （其中  为数）. 例 6 设                               0 0 2 3 2 1 1 1 4 , 2 1 2 1 0 3 , 0 1 2 1 2 1 A B C . 求 AC  BC . 解 法一 AC  BC                                          0 0 2 3 2 1 1 1 4 2 1 2 1 0 3 0 0 2 3 2 1 1 1 4 0 1 2 1 2 1                        2 2 8 6 4 10 1 0 5 1 1 10 3 2 3 7 5 0 . 法二 AC  BC  (A B)C                             2 2 8 6 4 10 0 0 2 3 2 1 1 1 4 2 0 0 0 2 4 . 下面介绍几类特殊的方阵. 形如                         n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a               1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0 0 , 0 0 0 的方阵分别称为上，下三角形矩阵,统称为三角形矩阵. 容易验证，若 A，B 为 n 阶上（下）三角形矩阵， 是数，那么 A B, A, AB 仍为 n 阶上（下）三角形矩阵. 特别地，矩阵

0000200..称为对角矩阵.其特点是主对角线（从左上角到右下角的直线）以外的元素全为零.设A，B都是n阶矩阵，若AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换例7设^为对角矩阵，且它的主对角线上的元素互补相等，证明：所有与人可交换的矩阵只能是对角矩阵证设[007...00Λ=()，00..元矩阵[auaina12a21a22..a2nA=...annLamlan2..与Λ可交换，即A=AA,由于[aMa2Ma[aauai2..ana21 a22.. a2nMa21 a2.. A,a2nΛA=AA:.aan,an...MamLManMan2... Aam所以Ma, =A,ag, (i, j=1,2,..,n).又,±元，（ij)，因此a=0(ij），即[a00.00a22.A=L00...ann阶矩阵

            n          0 0 0 0 0 0 2 1 称为对角矩阵.其特点是主对角线（从左上角到右下角的直线）以外的元素全为 零. 设 A，B 都是 n 阶矩阵，若 AB  BA ，则称矩阵 A 与矩阵 B 可交换. 例 7 设  为对角矩阵，且它的主对角线上的元素互补相等，证明：所有与  可交换的矩阵只能是对角矩阵. 证 设               n          0 0 0 0 0 0 2 1 ， ,(i j) i   j  ， 矩阵              n n n n n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 与  可交换，即 A  A.由于               n n n n n n n n n a a a a a a a a a A                 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 ，               n n n n n n n n n a a a a a a a a a A                 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 所以 a a , (i, j 1,2, , n) i ij   j ij   . 又 (i j), i   j  因此 a 0 (i j) ij   ，即              n n a a a A        0 0 0 0 0 0 22 11 . n 阶矩阵

00I00100..1称为n阶单位矩阵，记作E，.在不致于混淆的情况下，简记作E.这类矩阵的特点是主对角线上的元素都是1，其余元素都是0，即E=(0,),其中[1, i= j,8, =[o, i+ j.容易验证，单位矩阵有以下性质：AmxE,=AmnsEmAmxn=Amxn特别地，当A为n阶矩阵时，有AE=EA=A由此可见，单位矩阵E在矩阵乘法运算中起着与数的乘法中1类似的作用设入是数，矩阵[0:..00元..0NE=Lo0元称为数量矩阵因为（aE)A=A(aE),所以，n阶数量矩阵与所有的n阶矩阵是可交换的由于矩阵的乘法满足结合律，因此可以定义n阶矩阵的方幂设A是n阶矩阵，用A表示k个A的连乘积，成为A的k次幂容易看出A*A'= A**,(A') = A",其中k,1都是正整数注意，由于矩阵的乘法不满足交换律，所以式子（AB)=A*B*一般是不成立的

            0 0 1 0 1 0 1 0 0        称为 n 阶单位矩阵，记作 En .在不致于混淆的情况下，简记作 E .这类矩阵的特 点是主对角线上的元素都是 1，其余元素都是 0,即 ( ) E   ij ， 其中       0 . 1 , i j i j ij ， ，  容易验证，单位矩阵有以下性质： , AmnEn  Amn Em Amn  Amn . 特别地，当 A 为 n 阶矩阵时，有 AE  EA  A. 由此可见，单位矩阵 E 在矩阵乘法运算中起着与数的乘法中 1 类似的作用. 设  是数，矩阵                         0 0 0 0 0 0 E 称为数量矩阵. 因为 (E)A  A(E), 所以， n 阶数量矩阵与所有的 n 阶矩阵是可交换的. 由于矩阵的乘法满足结合律，因此可以定义 n 阶矩阵的方幂. 设 A 是 n 阶矩阵，用 k A 表示 k 个 A 的连乘积，成为 A 的 k 次幂.容易看出 k l k l A A A   ， k l kl (A )  A ， 其中 k,l 都是正整数. 注意，由于矩阵的乘法不满足交换律，所以式子 k k k (AB)  A B 一般是不成立 的

四、矩阵的转置定义4把mxn矩阵A的行换成同序数的列得到一个nxm矩阵，此矩阵叫做A的转置矩阵，记作A或AT.例如矩阵[120A=[3 -1 4]的转置矩阵为[13]A'= 22-1[04]矩阵的转置也是一种运算，且满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：(1) (A)=A;(2)(A+B)= A+B;(3) (2A)=AA";(4)(AB)=B'A".下面只验证（4），其余的留给读者验证设A=(a,）mxs，B=(b,）sm，首先容易看出，（AB)与B'A都是nxm矩阵，其次，（AB）的第i行第j列的元素就是AB的第j行第i列的元素，因而等于Zajbu.kslB'A的第i行第i列的元素等于B'的第i行元素与A'第i列的对应元素乘积之和，因而等于B的第i列与A的第j行的对应元素乘积之和bak·k=l由于aaba=bak，因此(AB)=B'A.二k=l运算规律（2）和（4）可以推广到多个矩阵的情形例88已知矩阵

四、矩阵的转置 定义 4 把 mn 矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个 nm 矩阵,此矩阵叫 做 A 的转置矩阵，记作 A 或 T A . 例如矩阵         3 1 4 1 2 0 A 的转置矩阵为              0 4 2 1 1 3 A 矩阵的转置也是一种运算，且满足下列运算规律（假设运算都是可行的）： （1） (A)  A ； （2） (A B)  A B ； （3） (A)  A ； （4） (AB)  BA . 下面只验证（4），其余的留给读者验证. 设 A  aij ms ( ) ， B  bij sn ( ) .首先容易看出， (AB) 与 BA 都是 nm 矩阵，其 次， (AB) 的第 i 行第 j 列的元素就是 AB 的第 j 行第 i 列的元素，因而等于  s k ajkbki 1 . BA 的第 i 行第 j 列的元素等于 B 的第 i 行元素与 A 第 j 列的对应元素乘积 之和，因而等于 B 的第 i 列与 A 的第 j 行的对应元素乘积之和  s k bkiajk 1 . 由于  s k ajkbki 1   s k bkiajk 1 ，因此 (AB)  BA . 运算规律（2）和（4）可以推广到多个矩阵的情形. 例 8 已知矩阵