《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第五章 相似矩阵与二次型 5-3相似矩阵

85.3相似矩阵特征值的应用之一是用来讨论方阵相似于对角阵的条件，即矩阵的可对角化问题.一、方阵的相似定义1设A，B是两个n阶方阵，若存在可逆方阵P，使得P-I AP=B,则称B是A的相似矩阵，或称A与B相似.对A进行运算P-AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.由定义1可知，矩阵相似具有下列简单性质：(1)自反性：A与A自身相似；(2)对称性：若A与B相似，则B与A相似；(3)传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似关于矩阵相似还有下面性质定理1相似矩阵有相同的特征多项式，因此有相同的特征值证设A与B相似，即有可逆阵P，使P-IAP=B于是I B-E|=|P-I AP-E =|P-I(A-E)P[=P-IIIA-EIIP=|A-EI注：定理1的逆命题未必成立，即特征多项式相同的两个矩阵不一定相似[1 0][ 1]例如A==E,B:.虽然它们的特征多项式都是（a-1)2，但A与[o ][0 1]B并不相似.这是因为，对任何可逆阵P，均有P-AP=E+B.推论 1若n阶方阵A与B相似,则Tr(A)=Tr(B)且A=B推论2若n阶方阵A与对角阵

§5.3 相似矩阵 特征值的应用之一是用来讨论方阵相似于对角阵的条件，即矩阵的可对角化 问题. 一、 方阵的相似 定义 1 设 A, B 是两个 n 阶方阵，若存在可逆方阵 P ,使得 1 P A P = B ， 则称 B 是 A 的相似矩阵，或称 A 与 B 相似.对 A 进行运算 P AP 1 称为对 A 进行相 似变换，可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 由定义 1 可知，矩阵相似具有下列简单性质： (1)自反性： A 与 A 自身相似； (2)对称性：若 A 与 B 相似，则 B 与 A 相似； (3)传递性：若 A 与 B 相似， B 与 C 相似，则 A 与 C 相似. 关于矩阵相似还有下面性质. 定理 1 相似矩阵有相同的特征多项式,因此有相同的特征值. 证 设 A 与 B 相似，即有可逆阵 P ，使 1 P A P = B 于是 | B -  E |=| 1 P A P - E |=| 1 P ( A - E ) P | =| 1 P || A - E || P |=| A - E |. 注：定理 1 的逆命题未必成立，即特征多项式相同的两个矩阵不一定相似. 例如 A=       0 1 1 0 = E ，B =       0 1 1 1 .虽然它们的特征多项式都是 2 ( 1) ，但 A 与 B 并不相似.这是因为，对任何可逆阵 P ，均有 1 P A P = E  B . 推论 1 若 n 阶方阵 A 与 B 相似,则 Tr(A)  Tr(B) 且 A  B . 推论 2 若 n 阶方阵 A 与对角阵

元元A:入，相似，则入，2，，，是A的n个特征值定义2若方阵A可与对角阵相似，则称方阵A可对角化如果一个方阵可对角化，对讨论方阵的性质会带来方便.但并非任何方阵都可对角化，下面我们来讨论方阵可对角化的条件二、方阵可对角化的条件定理2n阶方阵可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量证设A有n个线性无关的特征向量pi，P2.…P，且Ap,=入,P(i=1, 2...n),令P=[pr. P... P,],则AP=[Apr,Ap?...Ap,] =[M P, P2...A, ,][12= [pI P.. , ].元m而pi，P2.，P,线性无关，故P-存在，使[]2P-I AP=元m这就证明了充分性.将上述过程倒推回去，就是必要性的证明.由定理2可推出：(1)一个n阶方阵是否可对角化归结为它是否有n个线性无关的特征向量；(2)如果n阶方阵A与对角阵相似，则对角阵主对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵的列向量是A的特征向量（注意：特征向量与特征值相对应）推论3如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则矩阵A可对角化例1判定下列方阵能否对角化

              n    2 1 相似，则 1，2 ，···， n 是 A 的 n 个特征值. 定义 2 若方阵 A 可与对角阵相似，则称方阵 A 可对角化. 如果一个方阵可对角化，对讨论方阵的性质会带来方便.但并非任何方阵都 可对角化，下面我们来讨论方阵可对角化的条件. 二、 方阵可对角化的条件 定理 2 n 阶方阵可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 证 设 A 有 n 个线性无关的特征向量 1 p , 2 p ,., n p ,且 A pi =i pi ( i =１,２,., n ),令 P ＝［ 1 p , 2 p ,., n p ］，则 A P ＝［ A 1 p , A 2 p ,., A n p ］=［ 1 1 p ,2 2 p ,.,n n p ］ ＝［ 1 p 2 p . n p ］             n    2 1 . 而 1 p , 2 p ,., n p 线性无关，故 1 P 存在，使 1 P A P ＝             n    2 1 . 这就证明了充分性.将上述过程倒推回去，就是必要性的证明. 由定理２可推出： (1)一个 n 阶方阵是否可对角化归结为它是否有 n 个线性无关的特征向量； (2)如果 n 阶方阵 A 与对角阵相似，则对角阵主对角线上的元素就是 A 的特 征值，相似变换矩阵的列向量是 A 的特征向量(注意：特征向量与特征值相对应). 推论 3 如果 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则矩阵 A 可对角化. 例１ 判定下列方阵能否对角化

-4300(3)2(2)02-413解（1)由$2例1知，A有两个线性无关的特征向量（或A有两个不同特征值），因而A可以对角化，且存在可逆阵P，使[20]P-I A P=04其中(2)由$2例2知，A只有两个线性无关的特征向量，因而A不能对角化（3）由82例3和定理2知，A有三个线性无关的特征向量，因而A可以对角化，且存在可逆阵P，使2P-I AP :2]其中10100-141三、矩阵对角化的应用例2若A=[3-1]，求A100-13解解法一(1)先求A的特征值与特征向量.A的特征多项式为[3--1F()=I A- E I=（4-1）（2-元),-13-2所以A的特征值为2=2，=4.将=2代入方程（A-E)x=0，得

(1)         1 3 3 1 ， (2)             1 0 2 4 3 0 1 1 0 ， (3)             4 1 3 0 2 0 2 1 1 . 解 (1)由§２例１知， A 有两个线性无关的特征向量（或 A 有两个不同特 征值），因而 A 可以对角化，且存在可逆阵 P ，使 1 P A P ＝       0 4 2 0 ， 其中 P ＝       1 1 1 1 . (2)由§２例２知， A 只有两个线性无关的特征向量，因而 A 不能对角化. (3)由§２例３和定理２知， A 有三个线性无关的特征向量，因而 A 可以对 角化，且存在可逆阵 P ，使 1 P A P ＝           2 2 1 ， 其中 P ＝           1 1 4 0 1 0 1 0 1 . 三、矩阵对角化的应用 例２ 若 A＝         1 3 3 1 ，求 100 A . 解 解法一 (1)先求 A 的特征值与特征向量. A 的特征多项式为 f ()＝| A - E |＝       1 3 3 1 ＝（４- ）（２－  ）， 所以 A 的特征值为 1 ＝２， 2 ＝４. 将 1 ＝２代入方程 (A E)x  0 ，得

3-2一3.1求得一个基础解系P,1它就是对应于2=2的一个特征向量将=4代入方程（A-E）x=0，得3-4#[-4 -][]=/求得一个基础解系它就是对应于元，=4的一个特征向量，(2)构造相似变换矩阵P.令P=[p p,]-则可逆阵P，使得[20]P-I A P=[ 4]'其中上式可改写为20=PP40其中1-21121-21-2p-1

          1 3 2 3 2 1       2 1 x x ＝       0 0 求得一个基础解系 1 p ＝       1 1 . 它就是对应于 1 ＝２的一个特征向量. 将 2＝４代入方程（ A -E ） x =0，得           1 3 4 3 4 1       2 1 x x ＝       0 0 求得一个基础解系 2 p ＝       1 1 . 它就是对应于 2 ＝４的一个特征向量. (2)构造相似变换矩阵 P .令            1 1 1 1 P p1 p2 . 则可逆阵 P ，使得 1 P A P ＝       0 4 2 0 ， 其中 P ＝       1 1 1 1 . 上式可改写为 A＝ P       0 4 2 0 1 P ， 其中 1 P ＝           2 1 2 1 2 1 2 1

于是1-21-21-21-22100A100=P[200D-I2100400[299+21992992199-299-2199299+2199解法二类似解法一，先求A的线性无关的特征向量A的特征值为元=2，=4，其对应的特征向量分别为11P, =P,=小1由于pl,P2正交，将其单位化得万1万iPiP21e,e.1Ip.llIpall2[2]令11.72Q=[er e]-11[/2-2]则0是正交矩阵，且1111TM721V2MQ'A=Q1111M元,[2J2]V2121111[2.100722711号100112-2L22299+2199299_21992199299+21990.9

于是 100 A ＝ P 100 0 4 2 0       1 P ＝       1 1 1 1       100 100 0 2 2 0           2 1 2 1 2 1 2 1 ＝           99 199 99 199 99 199 99 199 2 2 2 2 2 2 2 2 . 解法二 类似解法一，先求 A 的线性无关的特征向量. A 的特征值为 1 ＝２， 2 ＝４,其对应的特征向量分别为 1 p ＝       1 1 ， 2 p ＝       1 1 . 由于 1 2 p , p 正交，将其单位化得                              2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 p p e p p e ， ， 令                  2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 Q e e 则 Q 是正交矩阵,且                                          2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1     A Q Q                                  2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 100 2 100 1   ＝           99 199 99 199 99 199 99 199 2 2 2 2 2 2 2 2

例 22若矩阵[2231Lyx与矩阵[1 2][3 4]相似，求x,y.解由于相似矩阵的迹，行列式均相等，所以22+x=1+422x-31y=4-6解得x=-17,y=-12

例 2 若矩阵       y x 22 31 与矩阵       3 4 1 2 相似，求 x, y . 解 由于相似矩阵的迹，行列式均相等，所以          22 31 4 6 22 1 4 x y x 解得 x  17, y  12