《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第四章 线性方程组 4-1线性方程组解的判别

教学课型：理论课实验课口习题课口第4-1课实践课口技能课口其它口主要教学内容（注明：*重点#难点）：线性方程组解的情况，线性方程组解的判定定理重点：线性方程组解的判定，难点：判断线性方程组解的情况教学目的要求：（1）理解线性方程组有解的条件；（2）会判断线性方程组解的情况教学方法和教学手段：课堂讲授，多媒体与板书相结合讨论、思考题、作业：参考资料：《线性代数》同济大学编高等教育出版社

第 4-1 课 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 线性方程组解的情况，线性方程组解的判定定理. 重点： 线性方程组解的判定. 难点： 判断线性方程组解的情况. 教学目的要求： （1）理解线性方程组有解的条件； （2）会判断线性方程组解的情况. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

第四章线性方程组线性方程组的理论是线性代数中的重要内容之一，它是解决很多实际问题的有力工具，在工程技术，经济活动分析以及许多科学技术领域中都有广泛的应用本章将讨论的方程组比第一章利用克莱姆法则求解的方程组更具有一般性，即方程的个数与未知数的个数不一定相等；即使它们相等，方程组的系数行列式也不一定不等于零，$4.1线性方程组解的判别对于n元线性方程组aux,+ai2x2+.+ainx.=b,a21X,+a22X2+...+a2mxm=b2(4-1)amX,+am2X2+...+amx,=bm利用矩阵的乘法，可以把（4一1）表示为Ax=b.(4-2)其中[anauna12...a21a22a2nA:[αmlamnam2-, I4<byb2X2b=x=[bm][,]而（4-1）的增广矩阵b,[aiai2ain.b2a21a22azn..A-.........bmJLamlamnam2由第二章的讨论可知，方程组（4-1）与增广矩阵一一对应，若A经过有限次初等行变换变为

第四章 线性方程组 线性方程组的理论是线性代数中的重要内容之一，它是解决很多实际问题的 有力工具，在工程技术，经济活动分析以及许多科学技术领域中都有广泛的应用. 本章将讨论的方程组比第一章利用克莱姆法则求解的方程组更具有一般性，即方 程的个数与未知数的个数不一定相等；即使它们相等，方程组的系数行列式也不 一定不等于零. §4.1 线性方程组解的判别 对于 n 元线性方程组                    . , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 m m n n n m m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     （4-1） 利用矩阵的乘法，可以把（4—1）表示为 Ax  b . （4-2） 其中              m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1               n x x x x 2 1 ,               mb b b b 2 1 . 而（4-1）的增广矩阵                      m m mn m n n a a a b a a a b a a a b A 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 由第二章的讨论可知，方程组（4-1）与增广矩阵一一对应.若 A 经过有限次初等 行变换变为

ailai2.ainbi3a2ia22.a2nA Lam.am2...ambm显然，A对应的方程组aix+ai2x2+...+ainx,=ba2j+a22x+...+a2nx=bamx,+am2X2+...+ammx.=b.与方程组（4-1）同解，因此求解方程组的问题就可以转化为矩阵的初等行变换问题.下面通过几个例子说明一般线性方程组的解的情况由第二章第一节知，方程组（4-1）的向量形式为xa,+x,α, +...+x,α,=β其中，α，表示其第j个未知量的系数构成的m维列向量，即baujb,B-(j =1,2,",n)X[b3]asj方程组(4-1)是否有解的问题就转化为向量β是否可由向量α,αi,α2…,αn线性表示.由于β是否可由向量α,αi,α2,α,线性表示共有三种情况，因此，线性方程组(4-1)的解可能会出现三种情况：有唯一解、有无穷多解或无解.有下面结论定理线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵A有相同的秩，即R(A)=R(A)证对于一般线性方程组（4-1），设[a[a2aubrb2a22a2αα2 ='a.b.[aml,Lam2]a.则线性方程组(4-1)与

A1 =                       ' ' ' 2 ' 1 ' 2 ' 2 ' 22 ' 21 ' 1 ' 1 ' 12 ' 11 m m mn m n n a a a b a a a b a a a b . 显然， A1 对应的方程组                  ' ' 2 ' 1 2 ' 1 ' 2 ' 2 2 ' 1 2 2 ' 2 1 ' 1 ' 2 1 ' 1 1 2 ' 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 与方程组（4-1）同解，因此求解方程组的问题就可以转化为矩阵的初等行变换 问题.下面通过几个例子说明一般线性方程组的解的情况. 由第二章第一节知，方程组（4-1）的向量形式为 x11  x22  xnn   其中，  j 表示其第 j 个未知量的系数构成的 m 维列向量，即                 j j j j a a a 3 2 1  ( j 1,2,  ,n ) ,               3 2 1 b b b  . 方程组(4-1)是否有解的问题就转化为向量  是否可由向量     n , , , 1 2 线性 表示.由于  是否可由向量     n , , , 1 2 线性表示共有三种情况，因此，线性方 程组(4-1)的解可能会出现三种情况：有唯一解、有无穷多解或无解.有下面结论. 定理 线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是它的系数矩阵 A 与增广矩阵 A 有相同的秩，即 R(A)  R(A) . 证 对于一般线性方程组（4-1），设               1 21 11 1 m a a a  ，               2 22 12 2 m a a a  ，.               mn n n n a a a 2 1  ,               mb b b 2 1  则线性方程组(4-1)与

(4-3)X,α, +x,α2+...+x,α,=β等价.并且A=[a α .. α,],A-[aα...αβ]必要性若方程组有解，则由（4-3）式知β可由αi,α2…α,线性表示，于是向量组αjαα，与向量组α,αan，β等价由第二章第3节性质1知秩{α,α2.,α,=秩(a,α2..,αn,β],所以 R(A)= R(A).充分性若R(A)=R(A),则向量组αα2.,α,与向量组αα.,αn,β有相同的秩，又向量组α，αα,可由向量组α，ααnβ线性表示，所以向量组ααα的最大无关组一定是向量组αα…αn,β的最大无关组，因此β可由向量组αα2…,α,线性表示.由（4-3）式知，方程组(4-1)有解推论1R(A)± R(A)充分必要条件是方程组(4-1)无解推论2如果方程组(4-1)有解，则它有唯一解的充分必要条件是R(A)= R(A)=n.证充分性若方程组(4-1)有解，由（4-3）式可知β可由α，α2.,α,线性表示.又R(A)=n，故α，αz.,α,线性无关，由第二章第3节定理2知β由α，α2α,线性表示的表示式唯一，即方程组（4-1）有唯一解.必要性若方程组有解，假设R(A)=R(A)=r<n，对A作初等行变换化为行最简形后对应的同解方程组为考= d, -Cir+I -...-CinXn= d, -C2r+ ..-C2nXnX2(4-4)X, =d, -Cr+1 -...-CmXn

x11  x22  xnn   （4-3） 等价.并且   A  1 2  n ，     A  1 2  n . 必要性 若方程组有解，则由（4-3）式知  可由    n , , , 1 2  线性表示，于 是向量组    n , , , 1 2  与向量组 1 , 2 ,,an , 等价.由第二章 第 3 节性质 1 知 秩     n , , , 1 2  =秩 1 , 2 ,, n , ， 所以 R(A)  R(A) . 充分性 若 R(A)  R(A) ,则向量组    n , 1， 2， 与向量组 1， 2，, n , 有相同的秩，又向量组    n , 1， 2， 可由向量组 1， 2，, n , 线性表示，所以 向量组    n , 1， 2， 的最大无关组一定是向量组 1， 2，, n , 的最大无关组， 因此  可由向量组    n , 1， 2， 线性表示.由（4-3）式知，方程组(4-1)有解. 推论 1 R(A)  R(A) 充分必要条件是方程组(4-1)无解. 推论 2 如果方程组(4-1)有解，则它有唯一解的充分必要条件是 R(A)  R(A)  n . 证 充分性 若方程组(4-1)有解，由（4-3）式可知  可由    n , 1， 2， 线 性表示.又 R(A)  n ，故    n , 1， 2， 线性无关，由第二章第 3 节定理 2 知  由    n , 1， 2， 线性表示的表示式唯一，即方程组（4-1）有唯一解. 必要性 若方程组有解，假设 R(A)  R(A)  r  n ，对 A 作初等行变换化 为行最简形后对应的同解方程组为                      r r r r r n n r n n r n n x d c c x x d c c x x d c c x 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 （4-4）

若给定x+1.x，一组确定的数，由（4-4）式可得方程组（4-1）的一组解，当xr+.,x,取两组不同的数时，便得到方程组（4-1）的两组不同的解，这与方程组（4-1）由唯一的解矛盾，故r=n例4判断方程组[x) -2x2 +3x, - x4 = 1,3x-X2+5x,-3x4=22x, +x, +2x, -2x4 = 3是否有解.解对方程组的增广矩阵A施行初等行变换，1-23-1r2-3r11-2311A=35-3205-1~212-23]r -2r [o501A[1-23-117r3-r2500-4-12Lo000可见R(A)=2，R(A)=3，由定理知方程组无解.例5非齐次线性方程组[-2x +x, +x =-2Xi -2x, +x = a,[ X + x2 - 2x, = 2当入取何值时有解？并求出它的全部解解对增广矩阵进行初等行变换[-2-2111-2221rArA=-2元11-21元1211-21[-2 1.-2]G21-21-222r2-rr+r1-230-331-220-303-2+2220r3 +2r00-2++22-1当-2+元+=0，即=-2时，R(A)=R(A)=2,方程组有解当入=1 时

若给定 r n x , , x 1  一组确定的数，由（4-4）式可得方程组（4-1）的一组解， 当 r n x , , x 1  取两组不同的数时，便得到方程组（4-1）的两组不同的解，这与方 程组（4-1）由唯一的解矛盾，故 r  n . 例4 判断方程组                  2 2 2 3 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 是否有解. 解 对方程组的增广矩阵 A 施行初等行变换，                 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 A 3 1 2 1 2 ~ 3 r r r r                  0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 ~ 3 2 r  r               0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 可见 R(A)  2, R(A)  3,由定理知方程组无解. 例5 非齐次线性方程组                 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 , 2 2,   x x x x x x x x x 当  取何值时有解？并求出它的全部解. 解 对增广矩阵进行初等行变换.                2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2  A  ~ 1 3 r  r               2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2   3 1 2 1 2 ~ r r r r                   2 2 2 0 3 1 2 2 0 3 3 1 1 2     ~ 3 2 r  r                 2 2 2 0 0 0 2 0 3 3 1 1 2      ， 当 2 0 2       ，即  =-2 时， R(A)  R(A)  2 ,方程组有解. 当  =1 时

21r1130A~03-3101000o000ri--r与原方程组同解的方程组为[x -x, = 1,[x2-x, = 0即[x = X +1X2=X3因此，当入=1时，原方程组的全部解可表示为xik+11=+全X2k10x其中k是任意数，容易看出11011]0分别是此方程组对应的齐次方程组的一个非零解与它的一个解当入=-2时，11-24r20A~-33-1KLo0000000与原方程组同解的方程组为[x, -xg =2,[x -x =2即x = x +2[x=X+2因此，当几=2时，原方程组的全部解可表示为

                          0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 ~ ) 3 1 *( 0 0 0 0 0 3 3 0 1 1 2 1 ~ 1 2 2 r r r A 与原方程组同解的方程组为        0. 1, 2 3 1 3 x x x x 即       2 3. 1 3 1 x x x x 因此,当  1 时，原方程组的全部解可表示为                                             0 0 1 1 1 1 1 3 2 1 k k k k x x x ， 其中 k 是任意数，容易看出                     0 0 1 , 1 1 1 分别是此方程组对应的齐次方程组的一个非零解与它的一个解. 当   2 时，                            0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 1 2 ~ ) 3 1 *( 0 0 0 0 0 3 3 6 1 1 2 4 ~ 2 2 r r r A 与原方程组同解的方程组为        2. 2, 2 3 1 3 x x x x 即        2 2 2 3. 1 3 x x x x 因此，当  =2 时，原方程组的全部解可表示为

--%11k-21X,其中k是任意数，容易看出00[- 2]是此方程组的一个解.而[1]1[]是此方程组所对应的齐次方程组-2x +x2 +x,=0,x -2x, +x, =0, Xi +X2-2xg=0的一个非零解

                                             2 0 0 1 1 1 3 2 2 1 k k k k x x x ， 其中 k 是任意数，容易看出            2 0 0 是此方程组的一个解.而           1 1 1 是此方程组所对应的齐次方程组                2 0 2 0, 2 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 的一个非零解