《线性代数》课程教学资源（试卷习题，A）试卷3

练习3一、判断题（每题2分，共10分）()1.若A(A-I)=O,则A=O或A=I.)(2.若向量组α,α2,α,可有,β,β线性表示则r≤s.)3.若AB=E，其中E为单位矩阵，则矩阵A可逆(()4.若A为n阶可逆矩阵，则VbeR"，方程组Ax=b有唯一解(5.若n阶方阵A.B有相同的特征多项式，则A与B相似)、填空、选择题（每空3分，共30分）245673(1)3(2)8911.已知A=1,α2,α=4,B=β,2=1,则A+B=12.已知A=则A的伴随矩阵A的秩为1113.设A,B均为3阶方阵，且A=-2B=3，则-ABT;I(AB)-" =4.已知α=(1,3,2),α,=(2,-2,4)，Q为3阶正交矩阵，则内积[Qα,Qα,]=5.已知向量组α,=(1,0,0)，αz=(0,1,0)，α=(0,0,1)，则向量组β,=(1,0,0,1)，,=(0,1,0,1)β,=(0,0,1,1)线性（填相关或无关）6.设3元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知n1,2是它的两个解向量，且n+n2=(3,2,5),n-nz=(1,2,3)，则其通解为7.在R中，线性变换T:(x,x2,x)→(+x2,+,+x)在基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)下的矩阵为).8.下列矩阵为初等矩阵的是（[1 0][1 1][20][11](C)(B)(D)(A)o[0 2][o o]1LoO][1 b 1][000])9.设矩阵A=010相似，则（与B=ba1[1 11[0 0 4](B)(A) α=1,b=3a=3,b=1(C) a=3,b=2(D) a=3,b=3（每题10分，共40分）三、计算题[10[1 0]000010-12B :求(AB)1.设A=201 01-1-101第1页，共4页

第1页，共4页 练习 3 一、判断题（每题 2 分，共 10 分） 1.若 A(A− I) = O, 则 A = O或A = I. ( ) 2.若向量组 , , , , , r s. 1 2 r可有1 2 s线性表示 则  ( ) 3.若 AB = E ，其中 E 为单位矩阵，则矩阵 A 可逆. ( ) 4.若 A 为 n 阶可逆矩阵,则 n b R ,方程组 Ax = b有唯一解. ( ) 5.若 n 阶方阵 A, B 有相同的特征多项式，则 A与B相似. ( ) 二、填空、选择题 （每空 3 分，共 30 分） 1 2 3(1) 3(2) 4 5 6 7 8 9 1. 已知 A = 1 ,2 ,3 = 4, B = 1 ,2 ,3 =1,则A+ B = . 2.已知           − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ，则 A 的伴随矩阵 * A 的秩为 . 3.设 A, B 均为 3 阶方阵，且 A = −2, B = 3 ，则 | − |= T AB ； = − |( ) | 1 AB . 4.已知 (1,3,2), (2, 2,4) 1= 2 = − ，Q 为 3 阶正交矩阵,则内积 [Q1 ,Q2 ] = . 5. 已知向量组 ( ) T 1 = 1,0,0 , ( ) T  2 = 0,1,0 , ( ) T 3 = 0,0,1 , 则向量组 ( ) T 1 = 1,0,0,1 , ( ) T  2 = 0,1,0,1 , ( ) T 3 = 0,0,1,1 线性_（填相关或无关）. 6. 设 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 的 秩 为 2 ， 已 知 1 2  , 是它的两个解向量，且 ( ) ( ) T T 1 +2 = 3,−2,5 ,1 −2 = 1,2,3 ，则其通解为 . 7.在 3 R 中，线性变换 ( ) 1 2 3 1 2 2 3 3 1 T :(x , x , x ) → x + x , x + x , x + x 在基 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 下的矩阵为 . 8.下列矩阵为初等矩阵的是（ ）. ( ) A       0 0 1 0 ( ) B       1 0 1 1 ( ) C       0 2 2 0 ( ) D       0 0 1 1 9.设矩阵           = 1 1 1 1 1 1 b a b A 与           = 0 0 4 0 1 0 0 0 0 B 相似，则（ ） ( ) A a =1,b = 3 ( ) B a = 3,b =1 ( ) C a = 3,b = 2 ( ) D a = 3,b = 3 三、计算题 （每题 10 分，共 40 分） 1.设             − − − =             − = 1 0 2 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 A ,B ，求 ( ) T AB

4310的秩2.试讨论入的取值范围确定A=242[26A为A的伴随矩阵，若AB=A-"，求矩阵B3.设矩阵A=04.设α=(-2,1,0,3)，z=(1-3,2,4),α=(3,0,2,-1),α4=(2,2,4,6),求向量组α1,2,3,α的一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示第2页，共4页

第2页，共4页 2.试讨论  的取值范围确定             = 2 2 4 3 1 7 17 3 4 10 1 3 1 1 4  A 的秩. 3.设矩阵       = 0 2 2 6 A , A *为A的伴随矩阵 ，若 −1 A B = A * ，求矩阵 B . 4.设 ( ) T 1 = − 2,1,0,3 , ( ) T  2 = 1− 3,2,4 , ( ) T 3 = 3,0,2,−1 , ( ) T  4 = 2,−2,4,6 ，求向量组 1 2 3 4  , , , 的一个最大 无关组, 并将剩余向量用该最大无关组线性表示

X-x, +xg-x =1四、（10分）求解线性方程组x-X2-x+x4=01Xj-X2 -2x +2x4=-2五、（10分）已知二次型f(x,x2,x)=2x+3x2+3x3+2ax2x(a>0)通过正交变换x=Qy化为标准形f=+2yz+5y，求参数a及正交矩阵Q第3页，共4页

第3页，共4页 四、（10 分）求解线性方程组        − − + = − − − + = − + − = 2 1 2 2 0 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x . 五、（10 分） 已知二次型 ( ) 2 3 3 2a ( 0) 2 3 2 3 2 2 2 f x1 ,x2 ,x3 = x1 + x + x + x x a  通过正交变换 x = Qy 化为 标准形 2 3 2 2 2 f = y1 + 2y +5y ，求参数 a 及正交矩阵 Q

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