《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第五章 相似矩阵与二次型 5-1向量的内积与正交向量组

第五章相似矩阵与二次型本章将介绍矩阵的特征值，特征向量以及实二次型理论.这些内容在线性代数中占有十分重要的地位，在微分方程，数理统计，经济理论以及其他学科中有着广泛的应用，85.1向量的内积与正交向量组第二章中我们介绍了n维向量的概念及其简单运算，下面来定义n维向量的另外一种运算一、向量的内积定义1设有n维向量b,a,ba,Rbha,令[a,β]=a,b,+a,b,+...+a,b.称[α,β] 为向量α与β的内积.内积是向量的一种运算，当α与β都是列向量时，可用矩阵表示为[α,β]=α'β.容易验证，内积满足下列规律：(1) [α, β]-[β,α];(2) k[α, β]=k [α, β];(3) [α+ β,r]-[α,r]+[β,](4)[α,α]≥0，当且仅当α=0 时,[α,α]=0.其中，α，β,是n维向量,k是实数.当[α,β]=0 时,称向量α与β正交由此不难看出，①零向量与任何向量都正交，而且只有零向量才与自身正交

第五章 相似矩阵与二次型 本章将介绍矩阵的特征值,特征向量以及实二次型理论.这些内容在线性代 数中占有十分重要的地位, 在微分方程,数理统计,经济理论以及其他学科中有 着广泛的应用. §5.1 向量的内积与正交向量组 第二章中我们介绍了 n 维向量的概念及其简单运算,下面来定义 n 维向量的 另外一种运算. 一、向量的内积 定义 1 设有 n 维向量              n a a a  2 1  ,              n b b b  2 1  令 , = a1b1  a2b2  anbn 称 ,  为向量  与  的内积. 内积是向量的一种运算,当  与  都是列向量时,可用矩阵表示为 , = . 容易验证,内积满足下列规律: (1) , = , ; (2) k, = k ,  ; (3)   , =,  + ,  ; (4) ,  0, 当且仅当  =0 时, , =0.其中,  ,  , 是 n 维向量, k 是 实数. 当 ,  =0 时,称向量  与  正交. 由此不难看出,①零向量与任何向量都正交,而且只有零向量才与自身正交

②由内积的运算规律（4)知，对任何向量α，/α,α都有意义.因此，我们可以利用内积来定义n维向量的长度定义2非负实数/α,α=a+a+.….+a称为向量α的长度（或范数），记作α.向量的长度具有以下性质：(1)非负性：α≥0,当且仅当α=0时，α=0(2)齐次性；kl=k|al;(3)三角不等式；α+≤α+当α=1时，称α为单位向量1如果α±0，由长度性质(2)不难验证向量α就是一个单位向量all用非零向量α的长度去除向量α得到一个与α同方向的单位向量，通常把这个过程称为对向量α单位化定义3一组两两正交的非零向量称为正交向量组。若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组定理1正交向量组是线性无关向量组.证设αi,α2,",αm是正交向量组，若有线性关系k,aj+kα,+...+kmαm=0用α,与等式两边作内积，得k,[α,α,]=0 (i=1,2,-,m).由α,0有[α,α,]>0,从而得,=0（i=1,2,…,m).故α,αz,,αm线性无关设α,α,,α,是r维V向量空间的一个基，若αi,αz，,α,两两正交，则称αi,α2,,α,是向量空间V的一个正交基.由单位向量组成的正交基称为标准正交基(或正交规范基).将每个α,单位化后得到r各单位向量

②由内积的运算规律(4)知,对任何向量  , [,] 都有意义.因此,我们可以利 用内积来定义 n 维向量的长度. 定义 2 非负实数 [,] = 2 2 2 2 a1  a  an 称为向量  的长度(或范数), 记作  .向量的长度具有以下性质: (1)非负性:   0,当且仅当  =0 时,  =0; (2)齐次性; k  k  ; (3)三角不等式;      +  ; 当  =1 时,称  为单位向量. 如果   0,由长度性质(2)不难验证向量   1 就是一个单位向量. 用非零向量  的长度去除向量  得到一个与  同方向的单位向量,通常把这个过 程称为对向量  单位化. 定义 3 一组两两正交的非零向量称为正交向量组.若正交向量组中每个向 量都是单位向量,则称该向量组为标准正交向量组. 定理 1 正交向量组是线性无关向量组. 证 设    m , , , 1 2  是正交向量组,若有线性关系 m m k11  k2 2  k  =0, 用  i 与等式两边作内积,得 ki i ,i   0 ( i 1,2,  ,m ). 由 i  0 有 i ,i   0 ,从而得 ki  0 ( i 1,2,  ,m ).故    m , , , 1 2  线性无关. 设    r , , , 1 2  是 r 维 V 向量空间的一个基,若    r , , , 1 2  两两正交,则称    r , , , 1 2  是向量空间 V 的一个正交基.由单位向量组成的正交基称为标准正 交基(或正交规范基). 将每个  i 单位化后得到 r 各单位向量

Xe2aa,a则e,ez,,e,即为V的一个标准正交基例如向量组[2[0]-100α,1012是R3得一组正交基，将它们单位化得201I001erV5V5021则er，ez，e,就是R的标准正交基通过前面的讨论我们知道，一组两两正交的非零向量是线性无关的，但一组线性无关的向量却不一定两两正交，下面介绍由一组线性无关的向量组来导出一组正交向量且与这个向量组等价的方法.设ααz，,α,是线性无关向量组.令β,=α, ;[α2,β] β,=α2B[βi,β,][αs,β] 。[a,β]β,=αsB2[B2,β,][β,β,][ar, β,][α,βr ]β,=α,βBt[βr,β,][β--,βr-]容易验证,β2,β,两两正交，且对任何k(1≤k≤r)，向量组β,β2.,β与,α2α等价上述从线性无关组αi,αz,α,导出正交组β,β2,,β,的过程称为施密特

1 1 1 1   e  , 2 2 2 1   e  ,  , r r r e   1  ， 则 r e ,e , ,e 1 2  即为 V 的一个标准正交基. 例如向量组 1 =           1 0 2 , 2 =           0 1 0 , 3 =           2 0 1 是 3 R 得一组正交基,将它们单位化得 1 e = 5 1           1 0 2 , 2 e =           0 1 0 , 3 e = 5 1           2 0 1 则 1 e , 2 e , 3 e 就是 3 R 的标准正交基. 通过前面的讨论我们知道,一组两两正交的非零向量是线性无关的,但一组 线性无关的向量却不一定两两正交. 下面介绍由一组线性无关的向量组来导出 一组正交向量且与这个向量组等价的方法. 设    r , , , 1 2  是线性无关向量组.令 1 =1 ;  2 = 2      1 1 1 2 1 , ,      ;  3 = 3      1  1 1 3 1 , ,          2 2 2 3 2 , ,      ; . . . . . . . . . . . . . .  r = r      1  1 1 1 , ,     r      1 1 1 1 , ,       r r r r r       . 容易验证    r , , , 1 2  两两正交,且对任何 k(1 k  r) ,向量组    k , , , 1 2  与    k , , , 1 2  等价. 上述从线性无关组    r , , , 1 2  导出正交组    r , , , 1 2  的过程称为施密特

正交化方法例1把向量组化为标准正交组解将α,αz,α,正交化，令1β, =α,=[α2, β,]--[-β,=α, [αs, β, ][α3, β,] e.2β,=αRB16-[β2,β2][βr, β,]0把β,βz,β,单位化得e方21V6/3则e,e,,e,,即为所求.由上面的求法不难得知，先单位化后正交化得到的向量不一定都是单位向量，但先正交化后单位化得到的向量仍是两两正交的.因此，当我们求标准正交向量组时，总是要先正交化后单位化，例2若α，α,，，α,是两两正交n为非零向量，r<n，则必有n维非零向量x，使x与α，α2,…,α,都正交证x应满足αx=0,α,x=0,,αx=0记

正交化方法. 例 1 把向量组 1 =           1 2 1 , 2            1 3 1 , 3             0 1 4 化为标准正交组. 解 将 1 2 3  , , 正交化,令 1  1 =           1 2 1 ;  2 = 2      1 1 1 2 1 , ,      =           1 3 1 6 4            1 2 1 = 3 5           1 1 1 ；  3 = 3      1  1 1 3 1 , ,          2 2 2 3 2 , ,      =            0 1 4 6 2            1 2 1 + 3 5           1 1 1 =2           1 0 1 ， 把 1 2 3  ,  ,  单位化得 1 e =           1 2 1 6 1 , 2 e =           1 1 1 3 1 , 3 e =           1 0 1 2 1 则 1 e , 2 e , 3 e ,即为所求. 由上面的求法不难得知,先单位化后正交化得到的向量不一定都是单位向量, 但先正交化后单位化得到的向量仍是两两正交的.因此,当我们求标准正交向量 组时,总是要先正交化后单位化. 例 2 若 1 , 2 ,., r 是两两正交 n 为非零向量, r  n ，则必有 n 维非零向 量 x ，使 x 与 1 , 2 ,.,  r 都正交． 证 x 应满足 1  x=0,  2  x=0,., x  r  =0, 记

α,a'α'则aix02Ax =0a'x即 Ax=0.因为A的秩小于n，故Ax=0必有非零解，此非零解即为所求得向量由例2易知，对n维正交向量组αj,αz,.α,，必存在n-r个n为非零向量αr,",αn，使αj,α2,,α,，αr,α,成为一个正交向量组例3已知[1]α,=1[1]求非零向量αz,α,使ααα两两正交解α2α应满足方程αx=0，即x+x2+=0它的基础解系为将5，5,正交化，取α,=5,=-1--]-[-[

A                  r    2 1 , 则 Ax                               0 0 0 2 1 x x x  r    即 Ax  0. 因为 A 的秩小于 n ,故 Ax  0 必有非零解,此非零解即为所求得向量. 由例 2 易知,对 n 维正交向量组    r , , , 1 2  ,必存在 n  r 个 n 为非零向量  r  n , , 1  ，使    r , , , 1 2  , r  n , , 1  成为一个正交向量组 例 3 已知 1 =           1 1 1 求非零向量 2 3  , 使 1 , 2 3  , 两两正交. 解 2 3  , 应满足方程 1  x  0，即 x1  x2  x3  0 . 它的基础解系为 1  =           1 0 1 , 2 =           1 1 0 将 1  , 2 正交化,取  2 = 1  =           1 0 1 ,  3 = 2     1 1 1 2 1 , ,       =           1 1 0 2 1            1 0 1 = 2 1             1 2 1

则αz,α,即为所求得向量定义 4如果n阶方阵A满足AA=E（即A-=A),则称A为正交矩阵正交矩阵具有下列重要性质：(1）A=A-,即A的转置就是A的逆阵；(2)若A是正交阵，则A（或A-I)也是正交阵；(3）两个正交阵的乘积仍是正交阵；(4)正交阵行列式等于1或-1（5）正交阵的列（行）向量都是单位向量，且两两正交(6)正交矩阵保持向量的内积不变，即设αi,αz是两个列向量，则有[Aα,Aα,]=[α,α,]下面只证明性质(5)设将正交矩阵A按照列向量进行分块，得A=[ααα,]，则[α]α2A'=[αn]由于α,α,αα,αnαjα2...a;a,arαα...a,an=E.1aα,.....：La'αnαanαz...αnan即[1 i= ( =12,.n),.a,a,o,itj即

则 2 3  , 即为所求得向量. 定义 4 如果 n 阶方阵 A 满足 AA  E (即 A  A 1 ), 则称 A 为正交矩阵. 正交矩阵具有下列重要性质： (1) 1 A  A ,即 A 的转置就是 A 的逆阵; (2)若 A 是正交阵,则 A (或 1 A )也是正交阵; (3)两个正交阵的乘积仍是正交阵; (4)正交阵行列式等于 1 或1 ; (5) 正交阵的列(行)向量都是单位向量，且两两正交. (6)正交矩阵保持向量的内积不变，即设 1 2  , 是两个列向量，则有 [ , ] [ , ] A1 A 2  1  2 . 下面只证明性质(5). 设将正交矩阵 A 按照列向量进行分块，得   A  1  2   n ，则               ' ' ' 2 1 n A    由于   E n n n n n n n n                                                                          2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 . 即 ( , 1,2, ) 0, 1, i j n i j i j i j          . 即

[1,i=j,[αi,α,小=α,α,=oij由此可知，方阵A为正交阵的充要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交又AA=E与AA=E等价，所以上述结论对A的行向量也成立

  i  j , =        0 . 1, , i j i j  i j 由此可知,方阵 A 为正交阵的充要条件是 A 的列向量都是单位向量,且两两正交. 又 AA  E 与 AA  E 等价,所以上述结论对 A 的行向量也成立