《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第六章 线性空间与线性变换 6-3线性变换及其矩阵

86.3线性变换及其矩阵在线性空间中，元素之间的联系就反映为线性空间的映射.线性空间V到自身的映射通常称为V的变换，本节要讨论的线性变换就是最简单也可以认为是最基本的一种变换，它也是线性代数的一个重要研究对象一、线性变换的概念定义1设T：V→V上的变换，如果满足(1)对任意α,βeV,都有 T(α+β)=T(α)+T(β);(2)对任意keR,αeV,都有T(kα)=kT(α),则称T为V上的线性变换，例1A是n阶方阵.在R"上定义线性变换T(α)=Ax，对VxeV，则称T是R"上的一个线性变换.事实上，T(x+y)= T(x)+T(y), Vx,yeVT(kx) = kT(x), Vk e R, VxeV .例2在R[x],中,微分算子D:Dp(x)=p(x)是一个线性变换例3设T是R中的线性变换，对任意αER有T(x1,X2,Xg)=(x +2x3,-X2,2x, +X)则T是一个线性变换.解对Vα, βeR,α=(xi,x2,x,),β=(y1,J2,s)T(α+ β) = T(x) + yi,X2 + y2,X3 + y3)=((x +y)+2(x, +ys),-(x2 +y2),2(x +y)+(x, +ys)=(x, +2x3,-x2,2x +x,)+(yi +2y3,-y2,2yi +ys)= T(α)+ T(β),T(ka) =T(kxj,kx2,kx)=(kx +2kx3,-kx2,2kx +kx)=k(x +2x3,-x2,2x +x3)= kT(α)所以，T是一个线性变换

§6.3 线性变换及其矩阵 在线性空间中,元素之间的联系就反映为线性空间的映射. 线性空间 V 到自 身的映射通常称为 V 的变换.本节要讨论的线性变换就是最简单也可以认为是最 基本的一种变换，它也是线性代数的一个重要研究对象. 一、线性变换的概念 定义 1 设 T：V V 上的变换,如果满足 (1)对任意 , V ,都有 T(  )  T() T() ; (2)对任意 k  R, V ,都有 T(k)  kT() , 则称 T 为 V 上的线性变换. 例 1 A 是 n 阶方阵.在 n R 上定义线性变换 T(x)  Ax ,对 xV ,则称 T 是 n R 上的一个线性变换.事实上, T(x  y)  T(x) T(y) ,x, yV T(kx)  kT(x),k R,xV . 例 2 在 n R[x] 中,微分算子 D：Dp(x)  p (x) 是一个线性变换. 例 3 设 T 是 3 R 中的线性变换,对任意 3   R 有 ( , , ) ( 2 , ,2 ) 1 2 3 1 3 2 1 3 T x x x  x  x x x  x . 则 T 是一个线性变换. 解 对 3 ，  R , ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3   x x x ，  y y y ( ) ( , , ) 1 1 2 2 3 3 T     T x  y x  y x  y (( ) 2( ), ( ),2( ) ( )) 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3  x  y  x  y  x  y x  y  x  y ( 2 , ,2 ) ( 2 , ,2 ) 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3  x  x x x  x  y  y y y  y  T() T()， ( ) ( , , ) ( 2 , ,2 ) ( 2 , ,2 ) ( ) T k  T k x1 k x2 k x3  k x1  k x3 k x2 k x1  k x3  k x1  x3 x2 x1  x3  k T  所以, T 是一个线性变换

二、线性变换的性质设T是线性空间V上的线性变换，则T有下列性质.(1) T(0)=0.(由T(α)=T(α),令=0即可)(2) T(-α)=-T(α). (由 T(α)=T(α),令=-1即可)(3) T(ka} +kα +...+k,α,)=k,T(α)+k,T(α)+.+k,T(αa,).(4)若向量组αj,αz,",α,线性相关，则其像T(α),T(αz),,T(α,)也线性相关.证因为αi,α2,,α,线性相关，即存在一组不全为零的数,，,,使得++..,=0于是T(α +Mα +.,α,)=T(α)+T(α)+.--,T(αn)=0因为,2,…,不全为零,所以，T(αi)，T(α2),…T(α)线性相关.线性变换相等：设T,T,是线性空间V上的两个线性变换，如果对于VαeV都有T(α)=T,(α),则称T,与T,相等，记作T =T,三、线性变换的矩阵表示设T是线性空间上的线性变换，αj,αz,",α,是线性空间V的一组基.VeV,设α=xα,+xα+.+xn，有T(α)=x,T(α)+x,T(α2)+..+x,T(αn)上式表明V中任意向量α在T作用下的像T(α)由α在基下的坐标与基的像T(α,),T(α,),,T(α,)来确定.由于T(α),T(αz),,T(α,)是V中的向量,因此它们可由基αjα2"α线性表示.设表示式为[T(α)=au +a2iα2+...+aαmT(α,)=a2α,+a22α+..+an2αnT(an)=ana,+a2nα2+...+aαn

二、线性变换的性质 设 T 是线性空间 V 上的线性变换,则 T 有下列性质. (1) T(0)  0. (由 T()  T(),令   0 即可) (2) T()  T(). (由 T()  T(),令   1 即可) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 nT n T k   k   k   k T   k T   k  . (4)若向量组   n , , , 1 2  线性相关,则其像 ( ), ( ), , ( ) T 1 T 2  T n 也线性相 关. 证 因为   n , , , 1 2  线性相关,即存在一组不全为零的数   n , , , 1 2  使得 11  22 nn  0 于是 T(11 22 nn )  1T(1 ) 2T(2 ) nT(n )  0 因为   n , , , 1 2  不全为零,所以, ( ) ( ) ( ) T 1 ，T 2 ，，T n 线性相关. 线性变换相等：设 1 2 T ,T 是线性空间 V 上的两个线性变换,如果对于  V 都 有 ( ) ( ) T1  T2  ,则称 T1 与 T2 相等，记作 T1  T2 . 三、线性变换的矩阵表示 设 T 是线性空间 V 上的线性变换,   n , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基.  V ,设 n n   x11  x22  x  ，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 nT n T   x T   x T   x  上式表明 V 中任意向量  在 T 作用下的像 T() 由  在基下的坐标与基的像 ( ), ( ), , ( ) T 1 T 2  T n 来确定.由于 ( ), ( ), , ( ) T 1 T 2  T n 是 V 中的向量,因此它 们可由基   n , , , 1 2  线性表示.设表示式为                    n n n n n n n n n n T a a a T a a a T a a a                       1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) , ( )

用矩阵表示为(1)T(α,α,,α,)=(T(α),T(α),,T(αn)=(α,α,,αn)A其中auai2.aina21a22...a2nA=Lan an2.. amn.由于A中第j列元素是α,的像T(α,）在基αi,αz",α,下的坐标，它是唯一确定的，因此，对于V中给定的线性变换T，当取定V的基αi,α2",α后，（1)式中的矩阵A由线性变换T唯一确定.反过来，假如有n阶矩阵A,由(1)式可的到n个向量T(α,),T(αz),,T(α,)下面定理证明了由n个向量的像决定的线性变换是唯一的定理1设αi,α2αn是线性空间V的一组基，β,β2,,β,是线性空间中任意n个向量.则V中存在唯一一个线性变换，把α,变称β,(i=1,2,,n)证V中任意向量α可以唯一表示为α=ka,+kaz+...+k,a,令变换T：T(α) =k,T(α)+ k,Y(α,)+...+k,T(αn)则显然有T(α,)=β,(i=1,2,,n).易验证T是V上的线性变换.下证线性变换T是唯一的.设T也是所求的线性变换，即T,(α,)=β,(i=1,2,",n)，则T(a)=T(Zk,α,)=Zk,T(α,)=Zk,β, =T(a)i=li=li=l即V中任意向量α在线性变换T，T,下的像相同.所以T=T这样线性变换可以确定一个矩阵；给定一个矩阵也可以确定一个线性变换因此，给定线性空间的一个基，在此基下，线性变换与矩阵是一一对应的，例4设T是R中的线性变换，对任意αER有

用矩阵表示为 T(1 ,2 ,  ,n )  (T(1 ),T(2 ), ,T(n ))  (1 ,2 ,  ,n )A (1) 其中              n n n n n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 由于 A 中第 j 列元素是  j 的像 ( ) T  j 在基   n , , , 1 2  下的坐标,它是唯一确 定的,因此,对于 V 中给定的线性变换 T ,当取定 V 的基   n , , , 1 2  后, (1)式中 的矩阵 A 由线性变换 T 唯一确定. 反过来,假如有 n 阶矩阵 A ,由(1)式可的到 n 个向量 ( ), ( ), , ( ) T 1 T 2  T n . 下面定理证明了由 n 个向量的像决定的线性变换是唯一的. 定理 1 设   n , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，   n , , , 1 2  是线性空间 V 中任意 n 个向量.则 V 中存在唯一一个线性变换，把  i 变称 (i 1,2, ,n) i   . 证 V 中任意向量  可以唯一表示为 n n   k11  k22  k  令变换 T ： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 nT n T   k T   k Y   k  则显然有 T( ) (i 1,2, ,n) i  i   .易验证 T 是 V 上的线性变换.下证线性变换 T 是唯一的.设 T1 也是所求的线性变换,即 ( ) ( 1,2, , ) T1 i  i i   n ，则 ( ) ( ( ) ( ) 1 1 1 1 T1  T1 k  k T  k  T  n i i i n i i i n i   i i         ） 即 V 中任意向量  在线性变换 T ,T1 下的像相同.所以 T  T1 . 这样线性变换可以确定一个矩阵;给定一个矩阵也可以确定一个线性变换. 因此,给定线性空间的一个基,在此基下,线性变换与矩阵是一一对应的. 例 4 设 T 是 3 R 中的线性变换,对任意 3   R 有

T(x,X2,x)=(x +2x3,-X2,2x, +X3)取R的基=(1,0,0),,=(0,1,0),,=(0,0,1)(1)求T在基6，62，6下的矩阵.(2)已知向量α=(L,2,3),求像T(α)在基61,2,6,下的坐标解 (1)T(s,) = T(1,0,0) = (1,0,2) = 8 + 283 ,T(8,)= T(0,1,0) =(0,-1,0) = -82 ,T(3) = T(0,0,1)=(2,0,1) = 28) +83,则0110-1T(8),82,8,)=(T(8,),T(82),T(8,))=(81,82,8,)0202所求矩阵为011001202(2)由于12α=(1,2,3)=6 +282 +38, =(81,82,8,)[3]所以[1]T(α)=T(6),82,8,)2=(61,82,6,)A[3][3]故T(α)在基8,62,6,下的坐标为yi1A20Y22032135[y3]例5假设T是R中到xx平面上的投影变换，即T(x,x2,x)=(x,x,0)

( , , ) ( 2 , ,2 ) 1 2 3 1 3 2 1 3 T x x x  x  x x x  x . 取 3 R 的基 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)  1   2   3  . (1)求 T 在基 1 2 3  ,  ,  下的矩阵. (2)已知向量   (1,2,3) ,求像 T() 在基 1 2 3  ,  ,  下的坐标. 解 (1) 1 1 2 3 T( )  T(1,0,0)  (1,0,2)     , 2 2 T( )  T(0,1,0)  (0,1,0)   , 3 2 1 3 T( )  T(0,0,1)  (2,0,1)    , 则              2 0 2 0 1 0 1 0 1 ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( , , ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 T    T  T  T     , 所求矩阵为             2 0 2 0 1 0 1 0 1 A . (2)由于                3 2 1 (1,2,3) 2 3 ( , , ) 1 2 3 1 2 3        所以                       3 2 1 ( , , ) 3 2 1 ( ) ( , , ) T  T  1  2  3  1  2  3 A , 故 T() 在基 1 2 3  ,  ,  下的坐标为                      3 2 1 3 2 1 A y y y                                   5 2 7 3 2 1 2 0 2 0 1 0 1 0 1 . 例 5 假设 T 是 3 R 中到 1 2 x x 平面上的投影变换,即 ( , , ) ( , ,0) 1 2 3 1 2 T x x x  x x

取 R3 的基6, =(1,0,0), 82 =(0,1,0), , =(0,0,1). 求(1)T在基8,82,8,下的矩阵.(2)在基α,=6,α2=82,α=6+82+8,下的矩阵解 (1)T(,)= T(1,0,0) = (1,0,0)= 81,T(82)= T(0,1,0) = (0,1,0) = 82,T(,)= T(0,0,1)=(0,0,0)= 08, +08, +083,则[100]T(6),62,63)=(T(6),T(e2),T(8,)=(61,82,8,) 0 1 0Lo0o]所求矩阵为100A=01[o0o](2)T(α)= T(8))= 8f =α1,T(α2)=T(62)=6, =α2,T(α,)= T(8, +82 +8,)= T(1,1,I)=(1,1,0)=8 +82 =α +α2即10101T(α1,α2,α)=(T(α),T(α2),T(α)) =(α,α2,α) [o0o]由此例可看出，同一线性变换在不同基下有不同的矩阵，下面定理给出了同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系.定理2设αj,α2,"",α,及β,βz,,β,为线性空间V的两组基，由基αi,α2,α,到基β,β2,,β的过渡矩阵为P，V中线性变换T在两组基下的矩阵分别为 A与B,则B=P-AP

取 3 R 的基 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)  1   2   3  .求 (1) T 在基 1 2 3  ,  ,  下的矩阵. (2) T 在基 1 1 2 2 3 1 2 3    ,    ,      下的矩阵. 解 (1) 1 1 T( )  T(1,0,0)  (1,0,0)   , 2 2 T( )  T(0,1,0)  (0,1,0)   , 3 0 1 0 3 0 3 T( )  T(0,0,1)  (0,0,0)       , 则             0 0 0 0 1 0 1 0 0 ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( , , ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 T    T  T  T     所求矩阵为            0 0 0 0 1 0 1 0 0 A . (2) 1 1 1 1 T( )  T( )    , 2 2 2 2 T( )  T( )    , 3 1 2 3 1 2 1 2 T( )  T(   )  T(1,1,1)  (1,1,0)      . 即             0 0 0 0 1 1 1 0 1 ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( , , ) T 1  2  3 T 1 T  2 T  3 1  2  3 . 由此例可看出,同一线性变换在不同基下有不同的矩阵.下面定理给出了同一线 性变换在不同基下矩阵之间的关系. 定理 2 设   n , , , 1 2  及   n , , , 1 2  为线性空间 V 的两组基,由基   n , , , 1 2  到基   n , , , 1 2  的过渡矩阵为 P ,V 中线性变换 T 在两组基下的矩 阵分别为 A 与 B ,则 B P AP 1 

证由已知(*)(βr,β2,,β,)=(α,α2,",α,)P及T(α,α2,,α,)=(α,α2,,α,)A(**)T(β1,β2,"",β,)=(βi,β2,",β,)B=(α1,α2,"",αn)PB于是由(*)式有(***)T(B,β2,",β,)=T(α,α2,..,α,)P=(α,α2,",α,)AP又α,α2α,线性无关，由（**)，(***)知PB=AP.又αiαzα,与,β2,,β均线性无关，所以P可逆，因此B=-"AP这个定理表明，同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的例6设V中线性变换T在基αi,αz下的矩阵为[a2A:a21a22求T在基αz,α,下的矩阵[01]010求得p-l即P解 (αj,α2)=(αz,α,)于是T在[1 o][1010(基αz,α下的矩阵为[1aa2oa22a21B= P-"AP -0oa21a2auai2

证 由已知 (1 , 2 ,  , n )  (1 , 2 ,  , n )P (*) 及 T(1 , 2 ,  , n )  (1 , 2 ,  , n )A T(1 , 2 ,  , n )  (1 , 2 ,  , n )B  (1 , 2 ,  , n )PB (**) 于是由(*)式有 T(1 , 2 ,  , n )  T(1 , 2 ,  , n )P  (1 , 2 ,  , n )AP (***) 又   n , , , 1 2  线性无关,由(**),(***)知 PB  AP . 又   n , , , 1 2  与   n , , , 1 2  均线性无关,所以 P 可逆，因此 B P AP 1  . 这个定理表明,同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 例 6 设 V 中线性变换 T 在基 1 2  , 下的矩阵为        21 22 11 12 a a a a A , 求 T 在基 2 1  , 下的矩阵. 解        1 0 0 1 ( , ) ( , ) 1  2  2 1 ，即        1 0 0 1 P ，求得         1 0 0 1 1 P ，于是 T 在 基 2 1  , 下的矩阵为                            1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 0 0 1 a a a a a a a a B P AP