《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第三章 矩阵的运算 3-3初等矩阵

教学课型：理论课实验课口习题课口第3-3节实践课口技能课口其它口主要教学内容（注明：*重点#难点）：初等矩阵及其性质，矩阵等与乘积的关系，用初等变换求逆矩阵.重点：初等矩阵及其性质，难点:初等矩阵的性质，教学目的要求：（1）掌握初等矩阵定义及其性质；（2）理解矩阵等价的充要条件；（3）熟悉用初等变换求逆矩阵.教学方法和教学手段：课堂讲授，多媒体与板书相结合讨论、思考题、作业：参考资料：同济大学编《线性代数》高等教育出版社

第 3-3 节 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 初等矩阵及其性质，矩阵等与乘积的关系，用初等变换求逆矩 阵. 重点： 初等矩阵及其性质， 难点： 初等矩阵的性质. 教学目的要求： （1）掌握初等矩阵定义及其性质； （2）理解矩阵等价的充要条件； （3）熟悉用初等变换求逆矩阵. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

S3.3初等矩阵上一节讨论了用伴随矩阵求逆矩阵的方法，我们知道其计算量一般较大，矩阵的初等变换是我们熟悉的方法，能否用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵？由于可逆矩阵是与矩阵的乘法密切相关的，因此，要想利用初等变换来求逆矩阵，首先需要把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系起来，一、初等矩阵定义1由单位矩阵经过一次初等变换而得到矩阵称之为初等矩阵，因为矩阵的初等变换有三种，所以相应的初等矩阵也有三类（1）互换单位矩阵E的第i行于第i行（或第i列与第i列）所得到的初等矩阵110..1:E(i, j)=1..011（2）用非零常数k乘单位矩阵E的第i行（或第i列）所得到的初等矩阵[1kE(i(k) =1]（3）用常数k乘单位矩阵E的第行（或第i列）加得到的第i行（或第i列）的相应元素上去，所得到的初等矩阵

§3.3 初等矩阵 上一节讨论了用伴随矩阵求逆矩阵的方法，我们知道其计算量一般较大.矩 阵的初等变换是我们熟悉的方法，能否用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵？由于 可逆矩阵是与矩阵的乘法密切相关的，因此，要想利用初等变换来求逆矩阵，首 先需要把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系起来. 一、初等矩阵 定义 1 由单位矩阵经过一次初等变换而得到矩阵称之为初等矩阵. 因为矩阵的初等变换有三种，所以相应的初等矩阵也有三类. （1）互换单位矩阵 E 的第 i 行于第 j 行（或第 i 列与第 j 列）所得到的初等 矩阵                              1 1 1 0 0 1 1 1 ( )       E i，j （2）用非零常数 k 乘单位矩阵 E 的第 i 行（或第 i 列）所得到的初等矩阵                  1 1 ( ( ))   E i k k （3）用常数 k 乘单位矩阵 E 的第 j 行（或第 i 列）加得到的第 i 行（或第 j 列） 的相应元素上去，所得到的初等矩阵

E(j(k),i) =1二、初等矩阵的性质1.初等矩阵均可逆由于[E(i,J) =1 ± 0, [E(i(k) =k ± 0, [E(j(k),i)|=1 ± 0所以初等矩阵都可逆.容易验证，初等矩阵的逆矩阵仍为与其同类的初等矩阵且E-(i,J)= E(i,j); E-(i(k)= E(iCE-"(G(k),i) = E(j(-k),i),);2.初等矩阵的作用对矩阵进行初等变换，可以用相应的初等矩阵左乘或右乘矩阵来表示.事实上，对mxn矩阵A进行一次初等行变换就相当于以相应的m阶初等矩阵左乘矩阵A，即[aiaia12...a12ain...ain...'.."..aiajiai2..aiaj2...ajniHrA== E(i,J)A;-.-aiaitai2ainaj2ajmn..........Laml[amam2amam2anu.[a]ai2ainanai2ain-....ka,2ka,nA=ka,i= E(i(k)A;aitai2ain-..Lamlam2amlaam2a

                       1 1 1 1 ( ( ), )      k E j k i 二、初等矩阵的性质 1.初等矩阵均可逆 由于 E(i, j) 1  0, E(i(k))  k  0, E( j(k),i) 1  0, 所以初等矩阵都可逆.容易验证，初等矩阵的逆矩阵仍为与其同类的初等矩阵且 ( , ) ( , ); 1 E i j  E i j  )); 1 ( ( )) ( ( 1 k E i k  E i  ( ( ), ) ( ( ), ). 1 E j k i  E j k i  2.初等矩阵的作用 对矩阵进行初等变换，可以用相应的初等矩阵左乘或右乘矩阵来表示.事实 上，对 mn 矩阵 A 进行一次初等行变换就相当于以相应的 m 阶初等矩阵左乘矩 阵 A ，即 E i j A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in j j jn n r r m m mn j j jn i i in n ~ ( , ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2                                                                                ； E i k A a a a k a k a k a a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n r k m m mn i i in n ~ ( ( )) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1                                                          ；

ai2auanaina12a, +ka,am+kajmanai2 +kaj2ai2A=E(i(k),i)Aaj2ajnanaj2ai..am2a mn[amiamlam2同理，对mxn矩阵A进行一次初等列变换相当于以相应的n阶初等矩阵右乘矩阵A.因此有下面定理.定理1设A是一个mxn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.这样，初等矩阵将初等变换与矩阵的乘积建立起对应关系.根据定理1，可以把矩阵的等价关系用矩阵的乘积表示出来，推论1mxn矩阵A~B的充分必要条件是存在m阶初等矩阵P,P2,P及n阶初等矩阵Qi,Q2.Q，使得PP.·..PAQQ,Q,=B由于可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，因此有下面的推论推论2mxn矩阵A~B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵Q使得PAQ=B在第二章中我们已经知道，用初等变换可以将矩阵化成标准型，即对于任一mxn矩阵A都有10000001....0A~I=000000...LO000......特别地，满秩矩阵A的标准型为单位矩阵E，于是有下面结论，定理2n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘积，即

E j k i A a a a a a a a k a a k a a k a a a a a a a a a a a a a a a a A m m mn j j jn i j i j in jn n r i krj m m mn j j jn i i in n ~ ( ( ), ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1                                                                                   . 同理，对 mn 矩阵 A 进行一次初等列变换相当于以相应的 n 阶初等矩阵右 乘矩阵 A.因此有下面定理. 定理 1 设 A 是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的 左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘 以相应的 n 阶初等矩阵. 这样，初等矩阵将初等变换与矩阵的乘积建立起对应关系.根据定理 1，可 以把矩阵的等价关系用矩阵的乘积表示出来. 推论 1 mn 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是存在 m 阶初等矩阵 P P Pl , , , 1 2  及 n 阶初等矩阵 Q Q Qi , , , 1 2  ，使得 P1P2 Pl AQ1Q2 Qi  B. 由于可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，因此有下面的推论. 推论 2 mn 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 p 及 n 阶可 逆矩阵 Q 使得 PAQ  B 在第二章中我们已经知道，用初等变换可以将矩阵化成标准型，即对于任一 mn 矩阵 A 都有                        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~                       A I 特别地，满秩矩阵 A 的标准型为单位矩阵 E ，于是有下面结论. 定理 2 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘 积，即

(3-4)A=PP...P其中P,P..,P都是n阶初等矩阵.注：（3-4）式就是可逆矩阵的分解式，即可逆矩阵可以分解为有限个初等矩阵的乘积.关于矩阵的分解问题，在工程领域有着广泛的应用，常见的分解有:.00000下面来介绍用初等变换来求逆矩阵的方法由（3-4）式可得(3-5)P-"...P-"P-"A=E,及P-...P-"P-"E = A-,(3-6)（3-5及（3-6）式表明，如果用一系列初等变换把可逆矩阵A化成单位矩阵E，那么用同样的初等行变换作用于E，就将E化成A-1.由此可得求逆矩阵的另一种方法.用已知的n阶矩阵A及n阶单位矩阵E，作一个nx2n矩阵[AE].并对这个矩阵施行初等行变换，当将它的左半部分的矩阵A化成单位矩阵E，同时右边部分的单位矩阵E就化成了A-，即[A E]~ [E A-]例1已知[0 1 2]A=1 14[2 -1 0]求A".解To0-2301110041iHr[A E]=11A0010O012?02001-1000-11

A  P1P2 Pl （3-4） 其中 P P Pl , , , 1 2  都是 n 阶初等矩阵. 注：（3-4）式就是可逆矩阵的分解式,即可逆矩阵可以分解为有限个初等矩 阵的乘积.关于矩阵的分解问题，在工程领域有着广泛的应用.常见的分解 有：。 下面来介绍用初等变换来求逆矩阵的方法. 由（3-4）式可得 , 1 1 1 2 1 Pl P P A  E     （3-5） 及 , 1 1 1 1 2 1    Pl P P E  A （3-6） （3-5 及（3-6）式表明，如果用一系列初等变换把可逆矩阵 A 化成单位矩阵 E ， 那么用同样的初等行变换作用于 E ，就将 E 化成 1 A .由此可得求逆矩阵的另一 种方法. 用已知的 n 阶矩阵 A 及 n 阶单位矩阵 E ,作一个 n 2n 矩阵 A E .并对这个 矩阵施行初等行变换，当将它的左半部分的矩阵 A 化成单位矩阵 E ，同时右边部 分的单位矩阵 E 就化成了 1 A ，即 A E ~ E  1 A 例 1 已知             2 1 0 1 1 4 0 1 2 A 求 1 A . 解                           2 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 ~ 2 1 0 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 1 2 3 0 0 1 2 r r A E

070711401140113-2r5+3r200-21001210000-21100-23-21-3-812002-106-31+i1004-211010-2141+2r35x(-2)0110-2321.010122=[EA-"]所以2-11A-l =-214311-2]L 2思考：是否可以用初等列变换来求逆矩阵？可逆矩阵也可以用一系列初等列变换化成单位矩阵.因而也可以用初等列变换求逆矩阵.这是需要用A和E作成一个2nxn矩阵[A][E]只要用若于此初等列变换把该矩阵上半部的A化成E，那么同时就把下半部的EAE化成A-1，即有[E]~[A-以上用初等行变换求逆矩阵的方法也可用来求解某些特殊矩阵方程设矩阵方程AX=B，其中A是满秩矩阵由于A是满秩矩阵，因此存在初等矩阵P,P2,,Pm，使PP,.PmA=E将上述初等矩阵依次右乘上面矩阵方程，得PP, .P.AX = PP.-P.B于是X=PP,..-P.B

                           0 0 2 3 2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 ~ 0 3 8 0 2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 ~ 3 2 2 3 3 2 r r r r                                    2 1 1 2 3 0 0 1 0 1 0 4 2 1 1 0 0 2 1 1 ~ 0 0 2 3 2 1 0 1 0 4 2 1 1 1 0 6 3 2 ~ 1 2 3 2 3 1 3 ) 2 1 ( 2 r r r r r r r   1  EA 所以                   2 1 1 2 3 4 2 1 2 1 1 1 A 思考：是否可以用初等列变换来求逆矩阵？ 可逆矩阵也可以用一系列初等列变换化成单位矩阵.因而也可以用初等列变 换求逆矩阵.这是需要用 A 和 E 作成一个 2n n 矩阵       E A 只要用若干此初等列变换把该矩阵上半部的 A 化成 E ，那么同时就把下半部的 E 化成 1 A ，即有             1 ~ A E E A 以上用初等行变换求逆矩阵的方法也可用来求解某些特殊矩阵方程. 设矩阵方程 AX  B ，其中 A 是满秩矩阵. 由于 A 是满秩矩阵，因此存在初等矩阵 P P Pm , , , 1 2  ，使 P1P2 Pm A  E 将上述初等矩阵依次右乘上面矩阵方程，得 P1P2 Pm AX  P1P2 Pm B 于是 X  P1P2 Pm B

由此可见，对于方程AX=B，用一系列初等行变换把A化为E，则这一系列初等行变换同时将B化为所求的矩阵X，即[A B]~ [E X]例2解矩阵方程011111-111X-02(-1 1[-1 0解11010/4[AB]=02012-1112r0121o-1-3-2110031703+r2202050-11Lo00020-20=[E]所以3152X=-20]思考：是否可以用初等变换来求解其它形式的矩阵方程？还可以求解下面两类矩阵方程设矩阵方程XA=B，其中A是满秩矩阵对矩阵A只进行初等列变换，将A化为单位矩阵E，这一系列初等行变换同时将B化为所求的矩阵X，即HBX设矩阵AXC=B，其中A，C是满秩矩阵思考：这种矩阵方程怎样来求解呢？

由此可见，对于方程 AX  B ，用一系列初等行变换把 A 化为 E ，则这一系列初 等行变换同时将 B 化为所求的矩阵 X ，即 A B ~ E X . 例 2 解矩阵方程                         1 0 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 1 X 解   EX  AB r r r r r r r r r r                                                         0 0 1 2 0 0 1 0 5 2 1 0 0 3 1 ~ 0 0 1 2 0 0 1 2 1 2 1 0 1 1 1 ~ 0 1 1 3 2 0 1 2 1 2 1 0 1 1 1 ~ 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 3 2 3 3 2 2 1 2 1 2 2 所以             2 0 5 2 3 1 X 思考：是否可以用初等变换来求解其它形式的矩阵方程？还可以求解下面两 类矩阵方程. 设矩阵方程 XA  B ，其中 A 是满秩矩阵. 对矩阵 A 只进行初等列变换，将 A 化为单位矩阵 E ，这一系列初等行变换同 时将 B 化为所求的矩阵 X ，即       B A ~       X E 设矩阵 AXC  B ，其中 A ,C 是满秩矩阵. 思考：这种矩阵方程怎样来求解呢？