《高等数学》课程教学资源（讲稿，上册）第6章第5讲（二阶微分方程求解）

第四节高阶线性微分方程第2讲二阶常系数线性微分方程求解人民邮电出版社乡POSTS&TELECOM PRESS

第2讲 二阶常系数线性微分方程求解 第四节 高阶线性微分方程 1

本讲内容01二阶常系数齐次线性微分方程02二阶常系数非齐次线性微分方程

本讲内容 01 二阶常系数齐次线性微分方程 02 二阶常系数非齐次线性微分方程 2

O#O一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y"+py'+qy=0(p,q为常数）设y=e是方程的解，其中r是待定常数，将y=e代入方程，整理得(r2+pr+q)e=0r2+pr+q=0因e0，若上式成立，则必有这个关于r的一元二次代数方程称为上述微分方程的特征方程，其根称为特征根2

一、二阶常系数齐次线性微分方程 3 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为 y   py   qy  0( p, q为常数) e e rx rx 设y  是方程的解，其中r 是待定常数，将y  代入方程，整理得 2 ( )e 0. rx r  pr  q  e 0 rx 因  ，若上式成立，则必有 2 r  pr  q  0. 这个关于r 的一元二次代数方程称为上述微分方程的特征方程，其根称为特征根

OO#一、二阶常系数齐次线性微分方程微分方程y"+py'+qy=0的求解问题就转化成了求其特征方程？+pr+q=0的特征根的问题，根据特征方程对应的特征根的不同情况，微分方程的通解有以下3种情况(1)当=p2-4q>0时，特征方程有两个相异的特征根r≠.这时方程y"+py+qy=0有两个特解y=e'i*和yz=e'3,因为=e(n-n)常数，所以它们线性无关y2故方程y"+py'+qy=o的通解为y=C,e'*+C,e'2*

一、二阶常系数齐次线性微分方程 4 以下3种情况. 2 微分方程y   py   qy  0的求解问题就转化成了求其特征方程r  pr  q  0 的特征根的问题，根据特征方程对应的特征根的不同情况，微分方程的通解有 1 2 1 2 e e r x r x y  C C . 2 1 2 （1） 当  p  4q  0时，特征方程有两个相异的特征根r  r .这时方程 1 2 1 2 0 e e r x r x y  py  qy  有两个特解y  和y  ， 所以它们线性无关. 1 2 1 ( ) 2 e y r r x y  因 为   常 数 ， 故 方 程 y   p y   q y  0 的 通 解 为

O00一、二阶常系数齐次线性微分方程r2+pr+q=0.(2)当△=p2-4q=0时，特征方程有两个相等的特征根r=r=r这时我们只得到方程y"+py+qy=0的一个特解y=e"，还需求出另一个线性无关的解即要求因为=u(x)常数.设y2=u(x)e*，记u(x)=u为待定函数，把y,代yi入方程y"+py'+qy=0整理得e[u"+(2r+p)u'+(r2+pr+q)u]=0,因为e0，所以u"+(2r+p)u'+(r2+pr+g)u=0.由于r是特征方程的二重实根故有2r+p=0，r2+pr+q=0.于是u=0，取u=x于是得到方程的另一个特解J2=xe.故方程y"+py+qy=0的通解为y=Ce" +C,xe" =(C +C,x)eC

一、二阶常系数齐次线性微分方程 5 1 2 1 2 e e ( )e . rx rx rx y  C C x  C C x （2） 2 1 2 当  p  4q  0时，特征方程有两个相等的特征根r  r  r .这时我们只得 1 2 0 e rx 到方程y   py   qy  的一个特解y  ，还需求出另一个线性无关的解 y， 2 2 2 1 ( ) ( )e ( ) y rx u x y u x u x u y y 即要求因为   常数.设  ，记  为待定函数，把 代 入方程y   py   qy  0整理得 2 e [ (2 ) ( ) ] 0, rx u   r  p u   r  pr  q u  2 e 0 (2 ) ( ) 0 rx 因为  ，所以u   r  p u   r  pr  q u  .由于r是特征方程的二重实根， 2 故有2r  p  0，r  pr  q  0.于是u   0，取u  x，于是得到方程的另一个特解 2 e 0 rx y  x .故方程y   py   qy  的通解为 2 r  p r  q  0

0O00一、二阶常系数齐次线性微分方程r2+pr+q=0.(3)当△=p2-4q<0时，特征方程有一对共轭复根，特征值为rz=α±βi这时微分方程y"+py'+qy=0有两个复数形式的线性无关解：J = e(a+βi)x = eax.ebix, J, = e(α-β)* =eax.e-Bix.我们希望能得到实值函数形式的解，根据欧拉公式ei=cosθ+isinの，上述复数特解可改写为J=ea*(cos βx+isin βx),J2=ea(cosβx-isin βx)111由定理6.1知，取y=+=e**cosx 2 ==eaxsinβx212iy与y,是原方程的两个线性无关的特解.因此，方程y+py+qy=0的通解为y=ea*(C,cosβx+C,sinβx)

一、二阶常系数齐次线性微分方程 6 1 2 e ( cos sin ). x y C x C x      （3） 2 1 2 当  p  4q  0时，特征方程有一对共轭复根，特征值为r，   i.这时微分 方程y   py   qy  0有两个复数形式的线性无关解： ( i) i ( i) i 1 2 e e e e e e x x x x x x y y          ，    . i e cos isin  我们希望能得到实值函数形式的解，根据欧拉公式    ，上述复数 特解可改写为 1 2 e (cos isin ) e (cos isin ) x x y x x y x x       ，     1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 e cos e sin 2 2 2i 2i x x y y y x y y y x   由定理6.1知，取     ，     ，则 1 2 y 与y 是原方程的两个线性无关的特解.因此，方程y   py   qy 0 的通解为 2 r  p r  q  0

OAO一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程y"+py'+qy=0的通解的求解过程如下(1)将原方程化为标准形式：y"+py'+qy=0写出y+py'+qy=0的特征方程+pr+q=0，求得特征根π.(2)(3)按照下表得到y"+py+qy=0的通解y"+py+qy=O的通解y"+py'+qy=O的特征根y=Ce" +C,e'sx两个不等的实根ry=(C +C,x)e*两个相等的实根r=r=r两个共轭复根ri2=α±iy=ea*(C, cos x + C, sin βx)

一、二阶常系数齐次线性微分方程 7 二阶常系数齐次线性微分方程y   py   qy  0 的通解的求解过程如下： （1） 将原方程化为标准形式：y   py   qy  0. 2 1 2 （2） 写出y   py   qy  0 的特征方程r  pr  q  0，求得特征根r， r . （3） 按照下表得到y   py   qy  0 的通解. y   py   qy  0的特征根 y   py   qy  0的通解 1 2 两个不等的实根r≠r 两个共轭复根r1，2 ＝α±iβ 1 2 两个相等的实根r＝r＝r

01OAO阶常系数齐次线性微分方程例1求解下列微分方程：(1) y"-3y'-4y=0;（3）y"-4y'+5y=0(2 )4y"-4y'+y=0;8

例 1 （ 1 ）y3y4y  0；（ 2 ）4y4y y  0；（ 3 ）y4y5y  0. 求解下列微分方程： 01 二阶常系数齐次线性微分方程 8

01OAO二阶常系数齐次线性微分方程例1求解下列微分方程：1(1） y"-3y'-4y=0;(2)4y"-4y'+y=0;(3） y"-4y'+5y=0解（1）原方程的特征方程为r2-3r-4=0，特征根为r=4，r=-1,因此原方程的通解为y=C,e4*+C,e-*(2）原方程可化简为"-'+=特征方程为r2-r+CM特征根为r=r=，因此原方程的通解为y=(C+C,x)e,(3）原方程的特征方程为r22-4r+5=9特征根为r=2+i,r2=2-i，因此原方程的通解为y=e2(C,cosx+C,sinx)

例 1 解 （ 1 ）y3y4y  0；（ 2 ）4y4y y  0；（ 3 ）y4y5y  0. 求解下列微分方程： （1）原方程的特征方程为r 2 3r  4  0，特征根为 1 2 r  4，r  1， 4 1 2 e e x x y C C  因此原方程的通解为   . （2）原方程可化简为 ， 1 0 4 y y y  2 1 0 4 特征方程为 r  r   ， 特征根为 1 2 1 2 r  r  ， 2 1 2 ( )e . x 因此原方程的通解为y  C C x （3）原方程的特征方程为r 2 4r 5  0， 2r  2i ， 2 1 2 e ( cos sin ). x 因此原方程的通解为 y  C x C x 1 特征根为 r  2i， 01 二阶常系数齐次线性微分方程 9

02阶常系数齐次线性微分方程A例求微分方程"-4y=0 白的通解10

例 2 02 二阶常系数齐次线性微分方程 10 求微分方程 y4y  0 的通解