《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第四章 线性方程组 4-3非齐次线性方程组

教学课型：理论课实验课口习题课口第4-3课实践课口技能课口其它口主要教学内容（注明：*重点#难点）：非齐次线性方程组解的结构，求解非齐次线性方程组重点：非齐次线性方程组解的结构，求解非齐次线性方程组，难点：求解非齐次线性方程组.教学目的要求：（1）理解非齐次线性方程组解的结构；（2）会求解非齐次线性方程组教学方法和教学手段：课堂讲授，多媒体与板书相结合讨论、思考题、作业：参考资料：同济大学编《线性代数》高等教育出版社

第 4-3 课 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 非齐次线性方程组解的结构，求解非齐次线性方程组. 重点： 非齐次线性方程组解的结构，求解非齐次线性方程组, 难点： 求解非齐次线性方程组. 教学目的要求： （1）理解非齐次线性方程组解的结构； （2）会求解非齐次线性方程组. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

84.3非齐次线性方程组下面先讨论非齐次线性方程组解的结构对于非齐次线性方程组a, +ai2x, +..+ai.x,=br,a2imj+axz+...+a2nxn=b2,(4-1)[amx,+am2x,+...+ammx.=bm。记xbiana12aunb2Xa21a22a2nA=0LbmxLanla.an2...则线性方程组(4-1)矩阵形式为Ax=b.齐次线性方程组ax, +ai2x+...+anx,=0a21xf+a222+...+a2nx,=0,(4-5)[amXj+am2X2+...+ammXn=0的矩阵形式为Ax=0.我们称方程组（4-5）为方程组（4-1）所对应的齐次线性方程组或导出组非齐次线性方程组（4-1）的解有下面性质：性质1设x=n及x=nz都是方程组（4-1）的解，则x=ni+nz是其对应的齐次方程组（4-5）的解证A(-nz)=An-Anz=b-b=0,即x=n+n,是(4-5）的解.性质2设x=n是(4-1)的解，x=是(4-5)的解，则x=+n是(4-1)的解证A(+n)=A+An=0+b=b,即x=5+n是(4-1)的解.由性质1知，若求出（4-1)的一个解n，则（4-1)的任一解x总可以表示为x=(x-n)+n'=$+n,其中=x-n为方程组（4-5）的解，即方程组（4-1）的任一解都可以表示为

§4.3 非齐次线性方程组 下面先讨论非齐次线性方程组解的结构. 对于非齐次线性方程组                  。 ， m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 , （4-1） 记                     n n mn n n a a a a a a a a a A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ，               n x x x x 2 1 ，               mb b b b 2 1 . 则线性方程组(4-1)矩阵形式为 Ax  b . 齐次线性方程组                  0. 0 0, 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ， （4-5） 的矩阵形式为 Ax  0. 我们称方程组（4-5）为方程组（4-1）所对应的齐次线性方程组或导出组. 非齐次线性方程组（4-1）的解有下面性质： 性质 1 设 1 x 及 2 x 都是方程组（4-1）的解，则 1 2 x 是其对应的 齐次方程组（4-5）的解. 证 A(1 2 )  A1  A2  b b  0,即 1 2 x 是（4-5）的解. 性质 2 设 x  是(4-1)的解, x   是(4-5)的解,则 x    是(4-1)的解. 证 A( )  A  A  0  b  b,即 x    是(4-1)的解. 由性质 1 知,若求出(4-1)的一个解 *  ,则(4-1)的任一解 x 总可以表示为 ( ) * x  x  + *  = *   ， 其中 *   x  为方程组（4-5）的解，即方程组（4-1）的任一解都可以表示为

它的一个特定解n与它的导出组的解的和.又若方程组（4-5）的通解为X=k51+k252 +...+kn-r5m-r +n,而由性质2可知，对任何数k,kz.,k.-r，上式总是方程（4-1)的解，于是方程组(4-1)的通解为X=k5, +k,52 +...+kn-rSn-, +n.其中，n是(4-1)的一个解，k5i+kz52+...+knr5n-,是(4-5)的通解.例1求解方程组X, + X2 - 3x, -X4 = 1,3x-x2-3x,+4x4=4x,+5x,-9x,-8x4=0解 对增广矩阵A进行初等行变换化成行最简形[1-3-1-311r -3r1-117447-3~0-461A=3-115-9o] r-r [04-6-8-7迎335101441712311-3-1r3+r23711r-r2010-2142444~1000000000rx(-Lo4于是得与原方程组同解的方程组335X +Xi1X41244'371X2x44°4即33Xs[x=号x3-元x-X4+4237[=+x++4原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为

它的一个特定解 *  与它的导出组的解的和.又若方程组（4-5）的通解为 * x  k1 1  k2 2  knr nr  , 而由性质 2 可知,对任何数 n r k k k   , , , 1 2 ,上式总是方程(4-1)的解,于是方程组 (4-1)的通解为 * x  k1 1  k2 2  knr nr  . 其中, *  是(4-1)的一个解， n r n r k k k 1 1  2 2     是(4-5)的通解. 例 1 求解方程组                  5 9 8 0. 3 3 4 4, 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵 A 进行初等行变换化成行最简形.                  1 5 9 8 0 3 1 3 4 4 1 1 3 1 1 A 3 1 2 1 ~ 3 r r r r                   0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 1 1 3 1 1 ) 4 1 ( ~ 2 3 2    r r r                0 0 0 0 0 4 1 4 7 2 3 0 1 1 1 3 1 1 ~ 1 2 r  r                     0 0 0 0 0 4 1 4 7 2 3 0 1 4 5 4 3 2 3 1 0 于是得与原方程组同解的方程组             , 4 1 4 7 2 3 , 4 5 4 3 2 3 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 即            . 4 1 4 7 2 3 , 4 5 4 3 2 3 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为

33-23-21-471,5251 =1140L01取x3,x4=0的原方程组的一个解5-411n=140LO因此，原方程组的通解为3-23-213-47-40-4一[x]-14X2=k+kzX300[X4100其中k,k,为任意数例2求解方程组x, -2x, +3x, -x, =1,3x-x2+5x,-3x4=22x,+x,+2x,-2x4=3解对增广矩阵A进行初等行变换：1-1-231|r, -3r11-23-115A=-15-3204013~2-2-40123Jrg -2ri/051[1-23-1113-r205-40-100002可见，R(A)=2，R(A)=3,故方程组无解例3求解方程组

                 0 1 2 3 2 3  1 ,                   1 0 4 7 4 3  2 . 取 x3 , x4  0 的原方程组的一个解                   0 0 4 1 4 5 *  . 因此,原方程组的通解为             4 3 2 1 x x x x =                 0 1 2 3 2 3 1 k +                  1 0 4 7 4 3 2 k +                  0 0 4 1 4 5 . 其中 1 2 k , k 为任意数. 例 2 求解方程组                  2 2 2 3. 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵 A 进行初等行变换: A                 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 3 1 2 1 2 ~ 3 r r r r                  0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 ~ 3 2 r  r               0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 , 可见, R(A)  2, R(A)  3,故方程组无解. 例 3 求解方程组

Xj - X2 - X + X4 = 0,X, -x, + x3 3x, =1,1X, - X2- 2x3 +3x4 = -2解对增广矩阵A进行初等行变换化成行最简形：-厂0-1101-r2-r1-11-312-1100-41A=1~11321-1-200-1r-n2]2JL1-21-20-11-101*0r21-1-21-20ri+r-20100-201?000000r3+r2100可见R(A)=R(A)=2,故方程组有解，与原方程组同解的方程组为1X,-x2-X=2'1X,-2x4 =2即1[x = 2+++21X=2x4+2此方程组对应齐次方程组的一个基础解系为[1][1]1051 =52=20[o][1]1即得原方程组的一个解为取x=x=0，得x=x=2F120n=1120

                    . 2 1 2 3 3 1, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵 A 进行初等行变换化成行最简形： A                     2 1 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 0 3 1 2 1 ~ r r r r                    2 1 0 0 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 0 3 2 2 ~ 2 1 * r r r               0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 2 1 1 1 1 0 ~ 1 2 r  r                    0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 2 2 1 1 1 0 1 . 可见 R(A)  R(A)  2,故方程组有解，与原方程组同解的方程组为           . 2 1 2 , 2 1 3 4 1 2 4 x x x x x 即           . 2 1 2 , 2 1 3 4 1 2 4 x x x x x 此方程组对应齐次方程组的一个基础解系为              0 0 1 1  1 ，              1 2 0 1  2 . 取 2 4 x  x =0，得 2 1 x1  x3  ，即得原方程组的一个解为                  0 2 1 0 2 1 * 

因此原方程组的同解为：XI0100X21=k+k102213001X4其中k,k,为任意数

因此原方程组的同解为:             4 3 2 1 x x x x =             0 0 1 1 1 k +             1 2 0 0 2 k + 2 1             0 1 0 1 . 其中 1 2 k , k 为任意数