《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第五章 相似矩阵与二次型 5-5二次型及其标准形

S5.5二次型及其标准形二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中，当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一般方程是ax? + 2bx +cy? = d(5-9)为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择适当的角度θ，做旋转变换x=xcose-y'singy=xsing+ycosg把方程(5-9)化成标准方程(5-10)ax+cy?=d.(5-9)式左边是一个二元二次齐次多项式.而（5-10)左端它只含有平方项.我们把该问题推广到一般情况，从而建立起二次型理论.该理论在数学和物理学中都有着广泛的应用，它是线性代数的重要内容之一.其中心间题是讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化成只含平方项的形式，一、二次型的概念定义1含有n个变量x,x2.x,的二次齐次多项式f(xi,x2...,xn)=ax+2ai2xx2+...+2anxixm(5-11)+a22x2+...+2a2nxx,+...+amx.称为二次型当a为复数时，称为复二次型；当a,为实数时，称为实二次型，例如X+Xx2+3xg+2x+4xxg+3x为实二次型；而ixx2 +5x +(3+i)x,xg + /2xx4为复二次型，我们下面讨论的二次型均为实二次型我们前面把（5-11)式中混合项x,x,(i<j)的系数写成2aj，而不是简单的写成α,是为了以后讨论方便

§5.5 二次型及其标准形 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的方程为标准形的问题.我们知 道在平面解析几何中，当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一般方程 是 ax  bx  cy  d 2 2 2 (5-9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择适当的角度  ，做旋转变换        sin cos , cos sin , ' ' ' '     y x y x x y 把方程(5-9)化成标准方程 a x  c y  d ' '2 ' '2 . (5-10) (5-9)式左边是一个二元二次齐次多项式.而(5-10)左端它只含有平方项.我 们把该问题推广到一般情况，从而建立起二次型理论.该理论在数学和物理学中 都有着广泛的应用，它是线性代数的重要内容之一.其中心问题是讨论如何把一 般二次齐次多项式经可逆线性变换转化成只含平方项的形式. 一、 二次型的概念 定义 1 含有 n 个变量 n x , x , , x 1 2  的二次齐次多项式 ( , , , ) 1 2 n f x x  x n n a x a x x a x x 12 1 2 1 1 2  11 1  2  2 2 2 2 2 22 2 2 n n n n n  a x  a x x  a x (5-11) 称为二次型. 当 ij a 为复数时，称 f 为复二次型；当 ij a 为实数时，称 f 为实二次型. 例如 2 2 3 3 2 1 2 1 3 2 2 x1  x x  3x x  2x  4x x  3x 为实二次型；而 2 3 1 4 2 ix1 x2  5x2  (3 i)x x  2x x 为复二次型.我们下面讨论的二次型均为实二次型. 我们前面把(5-11)式中混合项 x x (i j) i j  的系数写成 2aij ，而不是简单的写 成 ij a 是为了以后讨论方便

二、二次型的矩阵表示取a,=aj，则2a,xx, =agx,x, +anx,x,(i<j),所以二次型(5-11)式可以写成f(xX2...,xn)=aix?+..tanxx.+a2ix,x,+...+anxxn+...+anx.x,+...+amx?=x(aux,+..+anx,)+x(a2i,+...+a2mx,)+..+x,(amx,+..+ax.)[aai2..anxa2a22.a2nX-[x x2 .. ,]= X'AX.......Lanan2..amIxn其中X"=[x2x,]，A=(a,）m称为二次型(5-11)的矩阵.显然A=A,由于2a,=a,+a,(a,=a,）写法唯一，因此二次型与它的矩阵相互唯一确定.进而易知，二次型与对称矩阵一一对应，二次型（5-11)的矩阵A的元素满足，当i+j时，α,=α,是二次型x,x项系数的一半；当i=j时，a是x项的系数.例如，二次型f=x-3xz-4xx，+x的矩阵为[1 00A=0 -3 -2[0 -21]设由变量yi,y2y到变量xx2x的线性变换为X,=Cuyi+Ci2J2+...+Cinyn.X2=C21yi+C22y2+...+C2nJn(5-12)Xn=Cnyi+Cn2y2+...+Cmnyn或写成为矩阵形式X =CY

二、 二次型的矩阵表示 取 a ji  aij ，则 2a x x a x x a x x (i j) ij i j  ij i j  ji j i  , 所以二次型(5-11)式可以写成 ( , , , ) 1 2 n f x x  x n n a x a x x 1 1 2  11 1   a21x2 x1  a2n x2 xn  2 n1 n 1 nn n  a x x  a x ( ) 1 11 1 1n n  x a x  a x  x2 (a21x1  a2n xn )  + ( ) n n1 1 nn n x a x  a x                                     n n n n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 X AX '  . 其中   n X  x x  x 1 2 ' ， A  aij nn ( ) 称为二次型(5-11)的矩阵.显然 A  A ' ， 由于 2 ( ) aij  aij  a ji aij  a ji 写法唯一，因此二次型与它的矩阵相互唯一确定.进 而易知，二次型与对称矩阵一一对应. 二次型(5-11)的矩阵 A 的元素满足，当 i  j 时， aij  a ji 是二次型 i j x x 项系 数的一半；当 i  j 时， aii 是 2 i x 项的系数. 例如，二次型 2 2 3 3 2 2 2 f  x1  3x  4x x  x 的矩阵为               0 2 1 0 3 2 1 0 0 A . 设由变量 n y , y , , y 1 2  到变量 n x , x , , x 1 2  的线性变换为                  . , , 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y (5-12) 或写成为矩阵形式 X  CY

其中x[]y2A,Y=C=(cg)mn， X =1[Xn]Lyn.不难看出，若将(5-12)式代入(5-11)式，那么得到的关于yi,J2,J，的多项式仍为二次齐次式，即对二次型f=XAX，作可逆线性变换X=CY，则f = X AX = (CY) A(CY)= Y'(C AC)Y =Y'BY .其中B=CAC，因为B=(CAC)=CA(C）=B,所以B是对称矩阵，因而上式也是二次型.由此可知，线性变换把二次型变为二次型下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系，定义2设A,B是两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵C，使得B=C'AC,则称A与B是合同的由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩与原二次型的矩阵是合同的；由于矩阵合同一定等价，因而他们有相同的秩；矩阵间的合同也是等价关系，三、二次型的标准形二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型：(5-13)f=Myi+ny+...+nny如果一个二次型f=XAX经可逆变换X=CY能化为（5-13)的形式，则称（5-13）为该二次型的标准形.那么，任给一个实二次型能否化为标准型呢？答案是肯定的，下面给出化二次型为标准型的三种方法1．用正交变换化二次型为标准形定义3如果线性变换X=CY的系数矩阵C=(c,）m是正交矩阵，则称它为正线性变换，简称正交变换，显然正交变换是可逆的由于实二次型与实对称矩阵有着一一对应关系，而由第四节定理2知，任给实对称阵A，总有正交阵P，使P-AP=PAP=Λ为对角形，把此结论应用于二

其中 ij m n C c   ( ) ，               n x x x X 2 1 ，               n y y y Y 2 1 . 不难看出，若将(5-12)式代入(5-11)式，那么得到的关于 n y , y , , y 1 2  的多项 式仍为二次齐次式，即对二次型 f X AX '  ，作可逆线性变换 X  CY ,则 f X AX CY A CY Y C AC Y Y BY ' ' ' ' '   ( ) ( )  ( )  . 其中 B C AC'  ，因为 B  C AC  C A C  B ' ' ' ' ' ' ( ) ( ) ,所以 B 是对称矩阵，因而上式 也是二次型.由此可知，线性变换把二次型变为二次型. 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系. 定义 2 设 A,B 是两个 n 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵 C ，使得 B C AC'  ， 则称 A 与 B 是合同的. 由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩与原二次型的矩阵是合同的；由于 矩阵合同一定等价，因而他们有相同的秩;矩阵间的合同也是等价关系. 三、 二次型的标准形 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型： 2 2 2 2 2 1 1 n n f   y   y   y . (5-13) 如果一个二次型 f X AX '  经可逆变换 X  CY 能化为(5-13)的形式，则称 (5-13)为该二次型的标准形.那么，任给一个实二次型能否化为标准型呢？ 答案是肯定的，下面给出化二次型为标准型的三种方法. 1. 用正交变换化二次型为标准形 定义 3 如果线性变换 X  CY 的系数矩阵 ij n n C c   ( ) 是正交矩阵，则称它为 正线性变换，简称正交变换.显然正交变换是可逆的. 由于实二次型与实对称矩阵有着一一对应关系，而由第四节定理 2 知，任给 实对称阵 A ，总有正交阵 P ，使     P AP P AP 1 ' 为对角形，把此结论应用于二

次型，即有下面定理定理1任给实二次型f=X"AX(A=A)，总有正交变换X=PY，将化为标准形f=My +y? +...+any?其中,..,是矩阵A的特征值由第四节例2知，用正交变换化二次型为标准型的步骤为(1)写出二次型的矩阵A；(2)求出A的全部互不相同的特征值，，",：(3)对每个，求方程组(A-2,E)x=0的一个基础解系αi,αiz2,,αm，将它们正交单位化后，得到标准正交向量组PiPi2,Pum (i=1,2,..S,n +n, +.+n,=n);（4）以（3）中标准正交向量组为列向量作矩阵P，则P为正交阵；(5)作正交变换X=PY，则此正交变换X=PY就将二次型化为标准形例1求正交变换X=PY，把二次型f=2xX2+2xx3-2x,x4-2x2xg+2x2x4+2xgx4化为标准形.解（1）二次型的矩阵为[011-10-11-A=-1 011[-1 11（2）求A的全部互不相同的特征值A-E=(-1)(+3)故A的特征值为=1（3重根），=-3（3）对每个入,，求方程组(A-入,E)X=0的一个基础解系，对于Λ,=1，方程组(A-E)X=0的一个基础解系为

次型，即有下面定理. 定理 1 任给实二次型 ( ) ' ' f  X AX A  A ，总有正交变换 X  PY ，将 f 化 为标准形 '2 2 2 2 2 1 1 n n f   y   y   y . 其中   n , , , 1 2  是矩阵 A 的特征值. 由第四节例 2 知，用正交变换化二次型为标准型的步骤为: (1)写出二次型的矩阵 A ； (2)求出 A 的全部互不相同的特征值   s , , , 1 2  ； (3)对每个 i ，求方程组 (A iE)x  0 的一个基础解系 i i i in , , , 1 2  ，将它 们正交单位化后，得到标准正交向量组 , , , ( 1,2, , ) pi1 pi2 pin i s n1 n2 ns n i       ； (4)以(3)中标准正交向量组为列向量作矩阵 P ,则 P 为正交阵; (5)作正交变换 X  PY ,则此正交变换 X  PY 就将二次型化为标准形. 例 1 求正交变换 X  PY ，把二次型 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 2 3 2 2 4 2 3 4 f  x x  x x  x x  x x  x x  x x 化为标准形. 解 （1） 二次型的矩阵为                  1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A ， （2）求 A 的全部互不相同的特征值. ( 1) ( 3) 3 A E      . 故 A 的特征值为 1  1 （3 重根）， 2  3. （3）对每个 i ，求方程组 (A iE)X  0 的一个基础解系. 对于 1 =1，方程组 (A E)X  0 的一个基础解系为

11100α,=αa00110[o]1先将它们正交化，再单位化得[1]11-11.-Pi =P2 =P3=V2V620/12-[o][o][3对于,=-3，方程组(A+3E)X=0的一个基础解系为[1-1α =-11单位化得[1]-11P4 =2-1[]（4）以Pi,P2,P3,P4为列向量作矩阵，得正交矩阵1Y11-2T6721111-22V6V12P=121012V6V123100PV12且[11P-AP =1-2(5)作正交变换X=PY，则二次型化为标准型

             0 0 1 1 1 ，              0 1 0 1  2 ，              1 0 0 1  3 . 先将它们正交化，再单位化得              0 0 1 1 2 1 1 p ，               0 2 1 1 6 1 2 p ，              3 1 1 1 12 1 3 p . 对于 2  3 ，方程组 (A 3E)X  0 的一个基础解系为                1 1 1 1  4 单位化得                1 1 1 1 2 1 4 p （4）以 1 2 3 4 p , p , p , p 为列向量作矩阵，得正交矩阵                             2 1 12 3 0 0 2 1 12 1 6 2 0 2 1 12 1 6 1 2 1 2 1 2 1 6 1 2 1 P 且                2 1 1 1 1 P AP . (5)作正交变换 X  PY ，则二次型化为标准型

f=XAX=Y'P'APY=y?+y?+y?-3y?2．用配方法化二次型为标准形例1.化二次型f =2xx2 +2x3 -6xx为标准形，并求所用的线性变换复习：一元二次多项式配方解由于此二次型没有平方项，不能配方.需要先做一个可逆变换，化成含有平方项令[x=+y2x2=-2Xg= y3即0TyX1-1 (0X==C,Y专J20101ly3则f =2yz-2y2-4yiy +8yys,f=2(-yiy)-2y +8y=2(y1-y)-2-2y +8y再对「余下的项进行配方，得f =2(y1-y)2-2(y2-4y2y; +4ys)+6ys=2(y1 -y)2-2(y2 -2y,)2 +6y作变换[2=yi-y22=y2-2y3[23 = y3或

2 4 2 3 2 2 2 1 ' ' ' f  X AX  Y P APY  y  y  y  3y . 2. 用配方法化二次型为标准形 例1. 化二次型 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f  x x  x x  x x 为标准形,并求所用的线性变换. 复习：一元二次多项式配方 解 由于此二次型没有平方项，不能配方.需要先做一个可逆变换，化成含 有平方项. 令 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y           即 1 1 2 2 1 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y X x y C Y x y                                   则 2 2 2 2 4 8 1 2 1 3 2 3 f y y y y y y     ， 2 2 1 1 3 2 2 3 222 1 3 3 2 2 3 2( ) 2 8 2( ) 2 2 8 f y y y y y y y y y y y y          再对 f 余下的项进行配方，得 2 2 2 2 1 3 2 2 3 3 3 2 2 2 1 3 2 3 3 2( ) 2( 4 4 ) 6 =2( ) 2( 2 ) 6 f y y y y y y y y y y y y           作变换 1 1 3 2 2 3 3 3 2 z y y z y y z y           或

y/= z,+23y2= 22 +2z3[y,= z3即yi[。1 2Z,=C2Yy200V.则f=22/-222+623将厂化为标准形所用的线性变换为X=CY=CC,Z=CZ其中[113C=CC,=1 -1 -1(C = -2 ± 0).[001]3.利用合同变换化二次型为标准形设二次型f=X'AX(A=A)经可逆线性变换X=CY化为标准形f=A+y+...+ayn标准形的矩阵为[A元Λ=]则Λ=C'AC.因为C是可逆的，所以它可以表示为初等矩阵的乘积，即C=PP,·P于是A=C'AC=P...P,PAPP...P,而PBP相当于先对B作一次初等行变换，再对所得的矩阵作一次同类型的初等列变换.于是，下面引进合同变换的定义

1 1 3 2 2 3 3 3 2 y z z y z z y z           即 1 1 2 2 2 3 3 1 0 1 0 1 2 001 y z Y y z C Z y z                                  则 222 2 2 6 . 1 2 3 f z z z    将 f 化为标准形所用的线性变换为 X C Y C C Z CZ    1 1 2 . 其中 1 2 1 1 3 1 1 1 ( 2 0) 0 0 1 C C C C                  . 3.利用合同变换化二次型为标准形 设二次型 f X AX A A   ' ( ') 经可逆线性变换 X CY  化为标准形 1 1 2 2 . . n n f y y y        标准形的矩阵为 1 2 . n                  . 则   CAC .因为 C 是可逆的，所以它可以表示为初等矩阵的乘积，即 C  P1P2 Ps . 于是 C AC Ps P2 P1 AP1P2Ps        . 而 Pi BPi  相当于先对 B 作一次初等行变换，再对所得的矩阵作一次同类型的初等 列变换.于是，下面引进合同变换的定义

定义4以下三种变换统称为矩阵的合同变换(1)把A的第i行与第i行互换，再把所得矩阵的第i列与第i列互换；(2)用非零数k乘矩阵A的第i行，再用非零数k乘所得矩阵的第j列(3)把A的第j行乘以k加到第i行，再把所得矩阵的第j列乘以k加到第i列.容易看出，任意一个对称矩阵A，进行一次合同变换，所得到的矩阵仍为对称矩阵，而且与A合同.定理2设二次型f(xi,x2,,x,）的矩阵为A，作初等变换A对人作有限次合同变换「^[E」对E作相应的初等列变换[C]则Λ=C'AC，其中Λ为对角矩阵.由此知，只要作可逆线性变换X=CY，则f = X'AX =(CY)'A(CY)=Y'C'ACY=YAY=Ay+My2+..+Ay,例1用合同变换化二次型f =2xx2 +2x,x3-6x2x3为标准形，并求所用的线性变换解二次型矩阵为[01110-3A=1 -3 0

定义 4 以下三种变换统称为矩阵的合同变换. (1)把 A 的第 i 行与第 j 行互换，再把所得矩阵的第 i 列与第 j 列互换； (2)用非零数 k 乘矩阵 A 的第 i 行，再用非零数 k 乘所得矩阵的第 j 列； (3)把 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，再把所得矩阵的第 j 列乘以 k 加到第 i 列. 容易看出，任意一个对称矩阵 A ，进行一次合同变换，所得到的矩阵仍为对 称矩阵，而且与 A 合同. 定理 2 设二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的矩阵为 A ，作初等变换 A E A E C               对 作有限次合同变换 对 作相应的初等列变换 ， 则   CAC ，其中  为对角矩阵. 由此知，只要作可逆线性变换 X CY  ，则 2 2 2 1 1 2 2 ' ( )' ( ) ' ' =Y' Y= . . n n f X AX CY A CY Y C ACY    y y y        例 1 用合同变换化二次型 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f  x x  x x  x x 为标准形,并求所用的线性变换. 解 二次型矩阵为 0 1 1 1 0 3 1 3 0 A             

20-210-2117[21-20210-30-3I-203-3-20-30A-6+1100100E1010-292010110101LO0L001]1.20012[20007011-2000220600-2-25-4n5+1113111$+qCg-4c22R11-1111122001001[1 -]3[20021100C=l-1A=-22L60001令X=CY，则二次型f可化为标准形f=2y2片+6元号2由上面的例子，可知二次型的标准形不唯一，但标准形中系数不为零的平方项的个数却是相同的.一般地，设二次型f=X'AX(A=A)经可逆线性变换X=CY化为标准形f=My+y+.+ay,(a+0,i=1,2,.r),因此，r=R(C'AC)=R(A).所以r是唯一确定的，且与所作的变换无关我们把二次型矩阵的秩称为二次型的秩，并且进一步，有下面定理定理3设二次型f=X'AX(A=A)的秩为，有两个可逆的线性变换

2 1 1 2 1 2 2 1 3 1 3 1 1 2 1 2 2 0 2 1 0 1 1 2 1 2 0 2 2 1 0 3 1 0 3 2 2 0 1 3 0 2 3 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 0 2 2 0 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 r r r r c c c c r r c c A E                                                                     3 2 3 2 4 4 2 0 0 1 0 0 2 0 0 6 1 1 3 2 1 1 1 2 0 1 0 0 1 r r c c                  1 1 3 200 2 1 1 0 0 , 1 1 . 2 2 0 0 6 0 0 1 C                                     令 X CY  , 则二次型 f 可化为标准形 1 2 2 2 2 3 1 2 6 . 2 f y y y    由上面的例子，可知二次型的标准形不唯一，但标准形中系数不为零的平方 项的个数却是相同的.一般地，设二次型 f X AX A A   ' ( ') 经可逆线性变换 X CY  化为标准形 1 1 2 2 . ( 0, 1,2,. ) r r i f y y y i r           ， 因此， r R C AC R A   ( ' ) ( ).所以 r 是唯一确定的，且与所作的变换无关. 我们把二次型矩阵的秩称为二次型的秩.并且进一步，有下面定理. 定理 3 设二次型 f X AX A A   ' ( ') 的秩为 r ，有两个可逆的线性变换

X=CY和X=PZ将f化为f=My+y2+..+Ay(a*0)和f =kzi+k2z2+...+k,z,(k,+0)则,..中正数的个数与k,..k.中正数的个数相等.这个定理称为惯性定理定义5设二次型f=X'AX(A=A)的秩为r，若f=X'AX(A=A)经可逆线性变换X=CY化为f=y+y+.+y,-yp -..ypq则称上式为二次型f的规范标准形，其中p称为正惯性指数，g称为负惯性指数s=p-q称为符号差。任何二次型的规范标准形是唯一的。事实上，由于[元M元00V网Isgn2sgnVal1元2sgn a,aia0000因此，将二次型f化成标准形(5-13)后，再做变换Y=MZ，其中

X CY  和 X PZ  将 f 化为 1 2 2 2 1 2 2 . ( 0) r r i f y y y          和 2 2 2 1 1 2 2 . ( 0) r r i f k z k z k z k      ， 则 1 2 , ,.,   r 中正数的个数与 1 2 , ,., r k k k 中正数的个数相等. 这个定理称为惯性定理. 定义 5 设二次型 f X AX A A   ' ( ') 的秩为 r ,若 f X AX A A   ' ( ') 经可逆 线性变换 X CY  化为 1 2 2 2 2 2 2 1 . . . p p p q f y y y y y         则称上式为二次型 f 的规范标准形，其中 p 称为正惯性指数，q 称为负惯性指数， s p q   称为符号差。 任何二次型的规范标准形是唯一的。事实上，由于                       0 0 2 1   r                                                                          0 0 0 0 sgn sgn sgn 0 0 2 1 2 1 2 1       r r r          因此，将二次型 f 化成标准形(5-13)后，再做变换 Y  MZ ,其中