《高等数学》课程教学资源（讲稿，上册）第6章第4讲（线性微分方程解的结构）

第六章常微分方程第四节高阶线性微分方程人民邮电出版社RISS&HOTPRES

第四节 高阶线性微分方程 1 第六章 常微分方程

本节内容01线性微分方程解的结构02二阶常系数线性微分方程求解

本节内容 01 线性微分方程解的结构 02 二阶常系数线性微分方程求解 2

第四节高阶线性微分方程第1讲线性微分方程解的结构人民邮电出版社RISHOTRES

第1讲 线性微分方程解的结构 3 第四节 高阶线性微分方程

本讲内容01阶齐次线性微分方程通解的结构02二阶非齐次线性微分方程通解的结构

本讲内容 01 二阶齐次线性微分方程通解的结构 02 二阶非齐次线性微分方程通解的结构 4

A一、二阶齐次线性微分方程通解的结构二阶线性微分方程ys+ p(x)yc+ q(x)y = f(x)其中p(x)，g(x），f(x)是已知的关于x的函数，f(x）称为方程的自由项如果f(x)°0，则方程变为y+p(x)yα+q(x)y=0，称为二阶齐次线性微分方程如果f(x）10，则称为二阶非齐次线性微分方程；如果系数p(x），g(x)都是常数，则称方程为二阶常系数线性微分方程

一、二阶齐次线性微分方程通解的结构 5

AA一、二阶齐次线性微分方程通解的结构二阶齐次线性微分方程解的叠加原理）如果和y,是二阶齐次线性定理6.1微分方程y+p(x)ye+q(x)y=0的两个解，则y=Ciyi+C2y2也是方程y$+p(x)yc+q(x)y=0的解，其中C,C,为任意常数

6 定理6.1 一、二阶齐次线性微分方程通解的结构

一、二阶齐次线性微分方程通解的结构【二阶齐次线性微分方程通解的结构）定理6.2若yi，y,是二阶齐次线性微分方程y+p(x)y&+q(x)=0的两个线性无关的解则y=C+C,y,是方程y+p(x)ye+g(x)y=0的通解，其中C,C,为任意常数8

8 定理6.2 一、二阶齐次线性微分方程通解的结构

本讲内容01二阶齐次线性微分方程通解的结构02二阶非齐次线性微分方程通解的结构

本讲内容 01 二阶齐次线性微分方程通解的结构 二阶非齐次线性微分方程通解的结构 9 02

二二阶非齐次线性微分方程通解的结构y&+ p(x)ye+ q(x)y= f(x)定理6.3若，y,是二阶非齐次线性微分方程y+p(x)ycg(x)y=f(x)的两个特解则y=-yz是其对应的二阶齐次线性微分方程y+p(x)yα+g(x)y=0 的解

二、二阶非齐次线性微分方程通解的结构 10 定理6.3

#二、二阶非齐次线性微分方程通解的结构ys+ p(x)ye+ q(x)y = f(x),（二阶非齐次线性微分方程通解的结构】定理6.4若y是y+p(x)ye+g(x)y= f(x)的一个特解，y是y+p(x)yc+q(x)y=0的通解，则二阶线性非齐次微分方程y+p(x)ye+q(x)y=f(x)的通解是y=y.+y

二、二阶非齐次线性微分方程通解的结构 11 定理6.4