《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第五章 相似矩阵与二次型 5-4实对称矩阵的相似对角形

85.4实对称矩阵的相似对角形上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题，现在我们来解决本章的主要问题，如何用正交矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似问题.为此，我们首先证明下面三个引理引理1实对称矩阵的特征值为实数.证设复数入为实对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量，即(5-6)Ax=nx，x±0.用入表示的共轭复数，表示x的共轭复向量，对（5-6)两边取共轭，再取转置得，xA=x元.因A=A，A=A，有xA=元x，两边右乘x，得(5-7)Ax=RXx,再以刘左乘等式(5-6)，得(5-8)XAX=XX,比较（5-7）与（5-8）式，得xx=xx，即（入-元）买x=0，但x0，所以Xx=2x,-1x,P+0,i=l其中x为复向量x的第i个分量，故-=0，即=.这说明为实数显然，当特征值入，为实数时，方程组(A-,E)X=0,是实系数齐次线性方程组，由系数行列式A-E=0知，此方程组必有实的基础解系，所以对应的特征向量可以取实向量，引理2实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的，证设P1，P,是分别属于A的不同特征值与,的特征向量.即AP=P，AP2=2P2

§5.4 实对称矩阵的相似对角形 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题，现在我们来解决本章的主要 问题，如何用正交矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似问题.为此，我们首先证明 下面三个引理. 引理 1 实对称矩阵的特征值为实数. 证 设复数  为实对称矩阵 A 的特征值，复向量 x 为对应的特征向量，即 A x = x , x  0. (5-6) 用   表示  的共轭复数， x 表示 x 的共轭复向量，对(5-6)两边取共轭，再 取转置得， x A  x  .因 A = A， ' A = A ，有 x' A = x' ，两边右乘 x ，得 x' A x =   x' x ， （5-7） 再以 x' 左乘等式(5-6)，得 x' A x = x' x ， （5-8） 比较（5-7）与（5-8）式，得   x' x = x' x ， 即（   -  ） x' x =0，但 x  0，所以 x' x = n i i i x x 1 = n i i x 1 2 | |  0， 其中 i x 为复向量 x 的第 i 个分量，故   - =0，即   = .这说明  为实数. 显然，当特征值 i 为实数时，方程组 ( A -i E ) x =0， 是实系数齐次线性方程组，由系数行列式 A E  0 知，此方程组必有实的基础 解系，所以对应的特征向量可以取实向量. 引理 2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的. 证 设 1 p , 2 p 是分别属于 A 的不同特征值 1 与 2 的特征向量.即 A 1 p =1 1 p ， A 2 p =2 2 p

因A=A，故 P,=(MP,) =(Ap,)=P, A于是有PIP=p,A P2=p, (2 P2)=2 PP2,即(-)=0,但，故pP=0，即与正交注：由上节知，对一般矩阵来说，矩阵不同特征值对应的特征向量是线性无关的.但对对实称方阵，不同特征值对应的特征向量是正交的.引理3设A为n阶对称方阵，入是A的特征方程的r重根，则矩阵A-E的秩为n-r，从而A对应特征值a恰有r个线性无关的特征向量，定理1（实对称矩阵基本定理）设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P-'AP=P'AP=A其中A是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.证设A的互不相等的特征值为，2，…，，它们的重数依次为，r2，…，r，（r+rz+.+r=n），根据引理1和引理3，对应特征值，（i=l，2，，s）恰有r个线性无关的特征向量，把它们正交单位化，即得r个单位正交的特征向量.而由ri+r,+.+r,=n知，这样的特征向量共有n个，再根据引理2得，这n个单位特征向量两两正交，以它们为列向量构成正交阵P，有P- AP=△其中Λ的对角元素含r个，·.，r个，它们恰是A的n个特征值.求正交矩阵P，将实对称矩阵化A为对角矩阵的步骤：(1)求A的特征值，2，，，它们的重数依次为，r2，…，r，(ri+rz+... +r, =n);

因 ' A = A ，故 1 ' p1 = ' 1 1 ( p ) = ' 1 (Ap ) = ' p1 A . 于是有 1 ' p1 2 p = ' p1 A 2 p = ' p1 ( 2 2 p )=2 ' p1 2 p ， 即 ( 1 -2 ) ' p1 2 p =0， 但 1  2 ，故 ' p1 2 p =0，即 1 p 与 2 p 正交. 注：由上节知，对一般矩阵来说，矩阵不同特征值对应的特征向量是线性无 关的.但对对实称方阵，不同特征值对应的特征向量是正交的. 引理 3 设 A 为 n 阶对称方阵，  是 A 的特征方程的 r 重根，则矩阵 A -E 的 秩为 n  r ，从而 A 对应特征值  恰有 r 个线性无关的特征向量. 定理 1（实对称矩阵基本定理） 设 A 是 n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵 P ， 使 1 P A P ＝ ' P A P = A 其中 A 是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵. 证 设 A 的互不相等的特征值为 1， 2 ，···，  s ，它们的重数依次为 1 r ， 2 r ，···， s r ，（ 1 r + 2 r +···+ rs  n ），根据引理 1 和引理 3，对应特征值 i （ i =1， 2，···，s）恰有 i r 个线性无关的特征向量，把它们正交单位化，即得 i r 个单位正 交的特征向量.而由 1 r + 2 r +···+ rs  n 知，这样的特征向量共有 n 个.再根据引理 2 得，这 n 个单位特征向量两两正交，以它们为列向量构成正交阵 P ，有 1 P A P ＝ 其中  的对角元素含 1 r 个 1 ，···， s r 个  s ，它们恰是 A 的 n 个特征值. 求正交矩阵 P ，将实对称矩阵化 A 为对角矩阵的步骤： (1)求 A 的特征值 1，2 ，···，  s ，它们的重数依次为 1 r ， 2 r ，···， s r ， ( 1 r + 2 r +···+ rs  n );

(2)对每个,(i=1,2,s)，求其线性无关的特征向量x,xi2,",x（i=1，2, .., s);(3)将xil,xi2，"",x正交化，单位化，得到pi,Pi2",P，令P- pu... in Pa ... Pun... P... .则[元]元P-I AP=△=11.其中的对角元素含个，，个注：定理1中所求的正交矩阵P不唯一：P中特征向量的顺序与Λ中特征值的顺序是相对应的.例1设[400]A=031[013求正交矩阵P，使P-AP为对角形矩阵解（1）求A的全部特征值.[4-元00[A-E|=03-元1013-元=(4-) (2 -6 +8)=(2-) (4-)2故得特征值入,=2，1,=几,=4.（2）由（A-元.E）x=0求特征值入对应的线性无关特征向量当=2时，由

(2)对每个 (i 1,2, ,s) i   ，求其线性无关的特征向量 i i i ir x , x , , x 1 2  ( i =1， 2，···，s)； (3)将 i i i ir x , x , , x 1 2  正交化，单位化，得到 i pi pi pir , , , 1 2  ，令  s P p1 1  p1r p2 1  p1r  ps1  psr 1 2  则 1 P A P ＝                         s s        1 1 其中  的对角元素含 1 r 个 1 ，···， s r 个  s . 注：定理 1 中所求的正交矩阵 P 不唯一; P 中特征向量的顺序与  中 特征值 的顺序是相对应的. 例 1 设 A =           0 1 3 0 3 1 4 0 0 ， 求正交矩阵 P ，使 1 P A P 为对角形矩阵. 解 （1）求 A 的全部特征值. A E                  0 1 3 0 3 1 4 0 0 =(4-  )( 2  -6  +8)=(2- ) 2 (4  ) 故得特征值 1 =2，2 = 3 =4. （2）由( A- i E ) x =0 求特征值 i 对应的线性无关特征向量. 当 1 =2 时，由

0解得一个基础解系100-单位化得p5=V2[-1]-1当==4时，由0000000求得一个基础解系1[00153520这两个向量恰好正交，单位化得[1][o]110P2=P,=72[0]1（3）以pi，P2，P,为列向量得正交矩阵001110P=P:727211072[200040P-AP=P'AP=040例 2已知实对称矩阵

          0 1 1 0 1 1 2 0 0           3 2 1 x x x =           0 0 0 解得一个基础解系 1  =           1 1 0 ，单位化得 1 p = 2 1           1 1 0 当 2 = 3 =4 时，由             0 1 1 0 1 1 0 0 0           3 2 1 x x x =           0 0 0 求得一个基础解系  2 =           0 0 1 ， 3  =           1 1 0 . 这两个向量恰好正交，单位化得 2 p =           0 0 1 ， 3 p = 2 1           1 1 0 . （3）以 1 p ， 2 p ， 3 p 为列向量得正交矩阵 P =                   2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 1 0 P ， 1 P A P = ' P A P =           0 0 4 0 4 0 2 0 0 . 例 2 已知实对称矩阵

00-00-11求正交矩阵P，使P-IAP为对角矩阵解（1）求A的全部特征值[-111-1-元-11A-E|==(α-1)3 (α+3).1-1 -元1-元-111故得A的特征值为入,=1(3重根)，入,=-3（2）求每个特征值对应的线性无关特征向量当=1时，解方程（A-E）x=0.该方程组的系数矩阵-111-111-110000-1A-E=1001-100-1-1011000-1它对应的方程为-x,+x,+x,-x =0.求得一个基础解系：[1]-110α,=a,α,=010[o][0]1正交化得β,=α,,1[α2,β,]β,=α2β,=2[β,β,]20

A =                 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 . 求正交矩阵 P ，使 1 P A P 为对角矩阵. 解 （1）求 A 的全部特征值. | A- E |=                         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 3 ( 1) (  +3). 故得 A 的特征值为 1 =1(3 重根)，2 =-3. （2）求每个特征值对应的线性无关特征向量. 当 1 =1 时，解方程( A - E ) x =0.该方程组的系数矩阵 A- E =                     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 . 它对应的方程为 - 1 x + 2 x + 3 x - 4 x =0. 求得一个基础解系： 1 =             0 0 1 1 ， 2 =             0 1 0 1 ， 3 =             1 0 0 1 . 正交化得 1 =1，  2 = 2 - [ , ] [ , ] 1 1 2 1     1 = 2 1              0 2 1 1

[α,, β,][αg,β,]β,=α,B.β, [β,β,][β2,β,]3把β，β,，β,单位化得，1-P2=P,=P3V202V6/12[o]Lo13当2,=-3时，解方程（A+3E）x=0.将该方程组的系数矩阵作初等变换[3113-1[-111-10013-1100011101A+3E=13001101-1013100-111000000由此得方程组一个基础解系1α =111单位化得P4=-21[(3)以pi.P2,P3，P4为列向量得所求正交矩阵[1111272V6/1211111272T6V12P=21I0V6V12213002/12

 3 = 3 - [ , ] [ , ] 1 1 3 1     1 - [ , ] [ , ] 2 2 3 2      2 = 3 1             3 1 1 1 . 把 1 ,  2 ,  3 单位化得, 1 p = 2 1             0 0 1 1 , 2 p = 6 1              0 2 1 1 , 3 p = 12 1             3 1 1 1 . 当 2 =-3 时,解方程( A +3 E ) x =0.将该方程组的系数矩阵作初等变换 A +3 E =                 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 ~             0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 3 ~             0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 由此得方程组一个基础解系  4 =               1 1 1 1 ， 单位化得 4 p = 2 1               1 1 1 1 . (3)以 1 p , 2 p , 3 p , 4 p 为列向量得所求正交矩阵 P =                           2 1 12 3 0 0 2 1 12 1 6 2 0 2 1 12 1 6 1 2 1 2 1 12 1 6 1 2 1

0001000且满足P-IAP=P'AP00010003例3已知实对称矩阵A的三个特征值为=2,==1，且对应于，的特征向量为 p=31Pz =-31(1)求A对应与入,=2的特征向量.(2)求矩阵A.解（1)设A对应与入=2的特征向量为[x]Pi=x2X3由于[pi, P,]=0, [pi,p]=0得厂x+x-x=0,2x +3x, -3x, =0,解得[0]1p, =[1]所以，A对应与2=2的特征向量为kp(k￥0)令(2)方法一[0 1213P=[Pi P2 P;]=1 1[1 -1 -3]则

且满足 1 P A P ＝ ' P A P =             0 0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ． 例 3 已知实对称矩阵 A 的三个特征值为 1  2, 2  3 1 ，且对应于 2 3  ,  的特征向量为                         3 3 2 , 1 1 1 p2 p3 . (1)求 A 对应与 1  2 的特征向量. (2)求矩阵 A. 解 (1)设 A 对应与 1  2 的特征向量为            3 2 1 1 x x x p . 由于 p1 , p2   0, p1 , p3   0 得          2 3 3 0, 0, 1 2 3 1 2 3 x x x x x x 解得            1 1 0 1 p . 所以， A 对应与 1  2 的特征向量为 ( 0). kp1 k  (2) 方法一 令             1 -1 - 3 1 1 3 0 1 2 [ ] P p1 p2 p3 则

[2P-'AP =1所以[2p-A=P11]110[o1212T2-233111-11---11-31-1-22L1003-211-23-20=02方法二将 p,单位化得01er =T21[2]将P2,P,正交化得[-2]1[P3,P,]I52 = P2 =15, = P3P2=3[P2,P,][-1]-1再将52,53单位化得52e,151V353V6令

            1 1 2 1 P AP . 所以 1 1 1 2            A  P P                                       2 1 2 1 1 3 1 1 2 1 2 1 0 1 1 2 1 -1 - 3 1 1 3 0 1 2                  2 3 2 1 0 2 1 2 3 0 1 0 0 . 方法二 将 1 p 单位化得                  2 1 2 1 0 1 e , 将 2 3 p , p 正交化得                             1 1 2 3 1 [ , ] [ , ] , 1 1 1 2 2 2 3 2 2 2 3 3 p p p p p  p  p ， 再将 2 3  , 单位化得                            1 1 2 6 1 , 1 1 1 3 1 3 3 3 2 2 2     e e . 令

215-元1万-0一Q=[e]e;]=e.下万T61=1-1VV[则[2厂1Q'AQ =1一所以.-2111100T6T万T[2[2103-21-201-23-21111101A=QOTTT6万73T-1]11-1-21-1-1L0V67266T6

        61 31 21 61 31 21 62 31 0 1 2 3 Q e e e , 则     1 1 2 Q AQ 所以 A Q Q    1 1 2      61 31 21 61 31 21 62 31 0   1 1 2   61 61 62 31 31 31 21 21 0    23 21 0 21 23 01 0 0