《线性代数》课程教学资源（PPT课件，A）2-3向量组的线性关系

第二章矩阵与向量S2.3向量组的线性相关性线性组合向量组的等价三、向量组的线性相关性四、重要结论五、向量组的极大线性无关组

第二章 矩阵与向量 二、向量组的等价 一、线性组合 §2.3 向量组的线性相关性 三、向量组的线性相关性 四、重要结论 五、向量组的极大线性无关组

第二章矩阵与向量线性组合一、全1.定义2.3.1对于向量α,αz..……,αm和α，若存在m个数1,2.….,m，使得α= a,ai + 2α +...+ amαm则称α是α1,α2，……,αm的线性组合，1,2.…,m称为组合系数，或称向量α可由向量组α,α2……,αm线性表示

第二章 矩阵与向量 一、线性组合 1.定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得： 则称是1 ,2 ,.,m 的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称为 组合系数，或称向量可由向量组1 ,2 ,.,m 线性表示 .  = 11 + 22 + .+ mm

第二章矩阵与向量例: (1) α = (1,2,1),α1=(1,1,1),α2=(0,2,0)α=αi+,α2,α能由α1,α2线性表示,(2) α = (1,2,3),α1=(2,1,0),α2=(5,2,0) α3=(4,7,0)α不能由α1,α2,α3线性表示

第二章 矩阵与向量

第二章矩阵与向量2.结论（1）n维零向量能由任意的n维向量组线性表示0= 0α1+ 0α2+...+0αs（2）向量α能由包含α的向量组线性表示α=1α+0α2+...+0αs(3）81=(1,0,0),82=(0,1,0),83=(0,0,1)称为三维单位向量组，α=(2,4,5)=21+482+583

第二章 矩阵与向量 2.结论 （1）n维零向量能由任意的n维向量组线性表示 . 0 0 0 1 0 0

第二章矩阵与向量一般地,称。, =(1,0,...,0), 8, = (0,1,...,0),..., 。, =(0,0,...,1)为n维单位向量组a=(a,a2....,an) =ae +a,8, +...+ane任意的n维向量α都能由3,62……,8,线性表示3.判定方法例1判断向量α=(0,4,2)是否能由向量α,=(1,2,3)α2 =(2,3,1)，αs =(3,1,2)线性表示，若能，将α用α,αz2,α,线性表示

第二章 矩阵与向量 1 2 , , , . 任意的n维向量    都能由  n 线性表示 1 2 (1, 0, , 0) (0,1, , 0) (0, 0, ,1) n 一般地，称   =  =  =  ， ， ， 为n维单位向量组. 1 1 2 2 n n = + ++ a a a    =( , , , ) 1 2 n  a a a  3.判定方法 1 2 3 1 2 3 (0,4, 2) (1, 2, 3) (2, 3,1) (3,1, 2) , , .         = = = = 例1 判断向量 是否能由向量 ， ， 线性表示，若能，将 用 线性表示

第二章矩阵与向量解：先假定α=αα+α，即(0, 4, 2) = 2, (1, 2,3) + 22(2,3,1) + 2,(3,1, 2)=( +2+3,2 +3, +,3 +2 +2)因此[2 +22 +3 = 0,2 +32 +2 = 4,32 + , +2g = 2.232OT301[1[1230144-5-1[32.LO2]21-5-70323[120[100-54-54-1-1Lo-11LO0018181

第二章 矩阵与向量 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) = + +    1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.           + + =   + + =  + + =  解：先假定        = + + 1 1 2 2 3 3， 即

第二章矩阵与向量2, =1,2, =1,2, = -1于是α可表示为 α=α,+αα例2 判断向量α =(1,2,3)是否能由向量α, = (1,3,2)αz = (-2,-1,1), α = (3,5,2), α4 = (-1,-3,-2)线性表示311[1-2-1-23[1-11解：32505-3-10-4-1L23251-2Lo01-4-23-1[11050-4-1LO0002所以, α= ,α, + α, + α,+,α,无解α不能由α，αz，αs，α,线性表示

第二章 矩阵与向量 1 2 3    = = = − 1, 1, 1 于是可表示为     = + − 1 2 3 1 2 3 4 (1, 2, 3) (1, 3, 2) (-2, -1,1) (3, 5, 2) ( 1, 3, 2)      = = = = = − − − 例2 判断向量 是否能由向量 ， ， ， 线性表示. 解： 所以，         = + + 1 1 2 2 3 3 4 4 + 无解.      不能由 1 2 3 4 ， ， ， 线性表示

第二章矩阵与向量一般地，向量能否由向量组线性表出可转化为线性方程组有没有解的问题b,anjb2i=1.2&β=am）bmxiαi +xα, +...+x,α, = β对应的线性方程组为aixi +ai2x2 +...+ainx, =ba21Xj +a22X2 +...+a2nxn=b2amX, +am2x, +...+amXn =b,m

第二章 矩阵与向量 为线性方程组有没有解的问题. 一般地，向量能否由向量组线性表出可转化 1 2 1, 2, , j j j mj a a j n a        = =         1 2 m b b b        =        1 1 2 2 n n x x x     + ++ = 对应的线性方程组为        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1

第二章矩阵与向量向量组的等价二、[1.定义2.3.3设有两个n维向量组(1) : αj,α2,.",α,(II): ββ2,...,β若向量组()中每个向量都可由向量组()线性表示，则称向量组()可由向量组(m线性表示能相互线性表示，向量若向量组与向量组（m)组(D)与向量组(I)等价

第二章 矩阵与向量 二、向量组的等价 1.定义2.3.3 设有两个 n 维向量组 1 2 1 2 (I) : , , , (II) : , , , r s       若向量组(I) 中每个向量都可由向量组(II)线性 表示,则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示； 若向量组(I)与向量组(II) 能相互线性表示，向量 组(I)与向量组(II)等价

第二章矩阵与向量例3向量组():α1=(0,1,1),α2=(0,1,0）向量组（II)β1=(0,21),β2=(0,01),β3=(0-1,0）一方面：α1=β1-β3α2=-β3另—方面：βi=α+α2 β2=α1—α2β3=—α2故两向量等价

第二章 矩阵与向量 例3 一方面： 另一方面： 故两向量等价